Giải SBT Toán 11 bài 3: Cấp số cộng

Giải SBT Toán 11 bài 3: Cấp số cộng

79 13/11/2019

Bài 3.1 trang 117 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (un) với un=1−7n

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;

c) Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.

Giải:

a) Xét hiệu H=un+1−un=1−7(n+1)−(1−7n)=−7<0, vậy dãy số giảm.

b) Do un+1=un−7 nên dãy số (un) là cấp số cộng với u1=−6;d=−7

Công thức truy hồi là

{u1=−6;un+1=un−7 với n≥1

c) S100=−35250

Bài 3.2 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong các dãy số (un) sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

a) un=3n−1;

b) un=2n+1;

c) un=(n+1)2−n2;

d)

{u1=3;un+1=1−un

Giải:

a) un+1−un=3(n+1)−1−3n+1=3

Vì un+1=un+3 nên (un) dãy số là cấp số cộng với u1=2,d=3

b) un+1−un=2n+1+1−2n−1=2n. Vì 2n không là hằng số nên dãy số (un) không phải là cấp số cộng.

c) Ta có un=2n+1.

Vì un+1−un=2(n+1)+1−2n−1=2, nên dãy đã cho là cấp số cộng với u1=3;d=2

d) Để chứng tỏ (un) không phải là cấp số cộng, ta chỉ cần chỉ ra, chẳng hạn u3−u2≠u2−u1 là đủ.

Bài 3.3 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng (un) biết:

a)

{u1+2u5=0;S4=14

b)

{u4=10;u7=19

c)

{u1+u5−u3=10;u1+u6=7

d)

{u7−u3=8;u2.u7=75

Giải:

a) u1=8,d=−3

b) u1=1,d=3

c) u1=36,d=−13

d) u1=3,d=2 hoặc u1=−17,d=2.

Bài 3.4 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu

{a2+a4+...+a2n=126

Giải:

ĐS: n = 6

Bài 3.5 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm cấp số cộng (un) biết

a)

Giải SBT Toán 11 bài 3: Cấp số cộng

Từ đây tìm được u1=5,u3=13 hoặc u1=13,u3=5

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5

b) Ta có

b2=u21+(u1+d)2+...+[u1+(n−1)d]2

=nu21+2u1d[1+2+...+(n−1)]+d2[12+22+...+(n−1)2]

=nu21+n(n−1)u1d+n(n−1)(2n−1)d2/6 (1)

Mặt khác, a=nu1+n(n−1)d/2 (2)

Từ (2) tìm được u1 thay u1 vào (1) đểm tìm d.

Kết quả d=pmsqrt{rac{12(nb^2-a^2)}{n^2(n^2-1}}

u1=1/n.[a−n(n−1)2/d]

Bài 3.6 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho ba góc α,β,γ tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai d=π/3

Chứng minh:

a) tanα.tanβ+tanβ.tanγ+tanγ.tanα=−3

b) 4cosα.cosβ.cosγ=cos3

Giải:

Từ cấp số cộng α,β,γα,β,γ với công sai d=π/3 suy ra

α=β−π/3;γ=β+π/3

Thay α,γ vào hệ thức và áp dụng công thức cộng cung

Bài 3.7 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho cấp số cộng (un) chứng minh rằng

Nếu Sm/Sn=m2/n2

Thì um/un=2m−12/n−1

Giải:

Ta có Sm=2u1+(m−1)d/2.m

Sn=2u1+(n−1)d/2.n

Theo giả thiết

Sm/Sn=[2u1+(m−1)d]m/[2u1+(n−1)d]n=m2/n2

Suy ra (2u1−d)(m−n)=0 (với m ≠n ).

Từ đó u1=d2

Vậy um/un=u1+(m−1)d/u1+(n−1)d=d/2+(m−1)d/d/2+(n−1)d=2m−1/2n−1

Bài 3.8 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm x từ phương trình

a) 2 + 7 + 12 + ... + x = 245, biết 2, 7, 12, ..., x là cấp số cộng.

b) (2x+1)+(2x+6)+(2x+11)+...+(2x+96)=1010 biết 1, 6, 11, ... là cấp số cộng.

Giải:

a) Ta có

u1=2,d=5,Sn=245

245=n[2.2+(n−1)5]/2

⇔5n2−n−490=0

Giải ra được n = 10

Từ đó tìm được x=u10=2+9.5=47

b) Xét cấp số cộng 1, 6, 11, ..., 96. Ta có

96=1+(n−1)5⇒n=20

Suy ra S20=1+6+11+...+96=20(1+96)/2=970

Và 2x.20 + 970 = 1010

Từ đó x = 1

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn