Giải SBT Toán 11 bài 2: Dãy số

Giải SBT Toán 11 bài 2: Dãy số

51 13/11/2019

Bài 2.1 trang 111 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (un) biết

a) un=101−2n

b) un=3n−7

c) un=2n+1/n2

d) un=3n√n/2n

Giải:

a) 1/10,1/103,1/105,1/107,1/109 Dự đoán dãy (un) giảm.

Để chứng minh, ta xét tỉ số un+1/un=101−2(n+1)/101−2n=1/102<1. Vậy dãy số giảm

b) - 4, 2, 20, 74, 236. Xét dấu của hiệu un+1−un

c) 3,3/4,3/9,3/16,3/25. Làm tương tự câu b).

d) 3/2,9√2/4,27√3/8,81√4/16,243√5/32 Phần tiếp theo có thể làm tương tự câu a).

Chú ý. Qua bốn bài tập trên, học sinh có thể rút ra nhận xét về tính hợp lí của việc xét hiệu un+1−un hay tỉ số un+1/un khi khảo sát tính đơn điệu của dãy số.

Bài 2.2 trang 111 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Trong các dãy số (un) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?

a) un=2n−n2

b) un=n+1/n

c) un=sqrt{n^2-4n+7}

d) un=1/n2−6n+11

Giải:

a) Bị chặn trên vì un≤1,∀n∈N∗

b) Bị chặn dưới vì un≥2,∀n∈N∗

c) Bị chặn dưới vì un≥√3,∀n∈N∗u

d) Bị chặn vì 0n≤12,∀n∈N∗

Bài 2.3 trang 111 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (un) xác định bởi

{u1=5;un+1=un+3n−2 với n≥1

a) Tìm công thức tính (un) theo n;

b) Chứng minh (un) là dãy số tăng.

Giải:

a) ĐS: un=5+(n−1)(3n−4)/2

b) Tương tự bài Bài 2.1

Bài 2.4 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (un) với

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Giải:

a) Ta có u1=0

Xét hiệu un+1−un=(n+1)2−4(n+1)+3−n2+4n−3=2n−3

Vậy công thức truy hồi là

{u1=0;un+1=un+2n−3 với n≥1

b) un=n2−4n+3=(n−2)2−1≥−1. Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

c)

Sn=1+22+32+...+n2−4(1+2+...+n)+3n

=n(n+1)(2n+1)/6−4.n(n+1)/2+3n

=n(n+1)(2n+1)−12n(n+1)+18n/6

=n(n+1)(2n−11)+18n/6

Bài 2.5 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (un) với (un)=1+(n−1).2n

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số;

b) Tìm công thức truy hồi;

c) Chứng minh (un) là dãy số tăng và bị chặn dưới.

Giải:

a) Học sinh tự giải.

b) HD: Tìm hiệu un+1−un

ĐS:

{u1=1;un+1=un+(n+1)2n với n≥1

c) HD: Xét dấu un+1−un

Bài 2.6 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Các dãy số (un), (vn)được xác định bằng công thức

a) {u1=1;un+1=un+n3 với n≥1;

b) {v1=2;vn+1=v2n với n≥1

Tìm công thức tính (un), (vn) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (un). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (vn)

Giải:

a) Từ un+1−un=n3 ta có

u1=1;

u2−u1=13;

u3−u2=23;...un−1−un−2=(n−2)3;

un−un−1=(n−1)3

Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được

un=1+13+23+...+(n−1)3

Sử dụng kết quả bài tập 12 b) - ta có

13+23+...+(n−1)3=(n−1)2n2/4

Vậy

un=1+n2(n−1)2/4

u100=24502501

b) Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát

v1=2;

v2=v21=22;

v3=v22=24=2^{2^2};

v4=v23=28=2^{2^3}

Từ đây dự đoán vn=2^{2^{n-1}}

Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (vn)

Bài 2.7 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Dãy số (xn) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A:

A={A0,A1,A2,...,An}

Gọi B là điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A.

Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ B và hai trong số n + 1 điểm A0,A1,A2,...,An rồi lập dãy số un

a) Tính u1,u2,u3,u4

b) Chứng minh rằng un=C2n+1 và {u_{n + 1}} = {u_n} + n + 1)

Giải:

Giải SBT Toán 11 bài 2: Dãy số

a)

u1=1

u2=3

u3=6

u4=10

b) Số các tam giác un tạo thành từ B và n + 1 điểm chính là số tổ hợp chập 2 của n + 1 phần tử:

Áp dụng công thức Ckn=Ckn−1+Ck−1n−1

Ta có C2n+2=C2n+1+C1n+1

Hay un+1=un+n+1

Bài 2.8 trang 112 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho dãy số (un) thoả mãn điều kiện: Với mọi n ∈ N* thì 0n<1 và un+1<1−1/4un

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm.

Giải:

Vì 0n<1 với mọi n nên 1−un+1>0

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có un+1(1−un+1)≤1/4

Mặt khác, từ giả thiết un+1<1−1/4un

suy ra un+1.unn(1−un+1)

So sánh (1) và (2) ta có:

un+1(1−un+1)n(1−un+1) hay un+1

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn