Giải bài tập Toán Nâng cao Đại số và Giải tích 12 bài 2

Giải bài tập Toán Nâng cao Đại số và Giải tích 12 bài 2

25 02/12/2019

Bài 11 sgk trang 16, 17 Toán Nâng cao 12 Đại số và Giải tích

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a)fleft( x 
ight) = {1 over 3}{x^3} + 2{x^2} + 3x - 1

b) fleft( x 
ight) = {1 over 3}{x^3} - {x^2} + 2x - 10

c) fleft( x 
ight) = x + {1 over x}

d) fleft( x 
ight) = left| x 
ight|left( {x + 2} 
ight);

e) fleft( x 
ight) = {{{x^5}} over 5} - {{{x^3}} over 3} + 2

f) fleft( x 
ight) = {{{x^2} - 3x + 3} over {x - 1}}

Giải

a) TXĐ: D=mathbb R

f'left( x 
ight) = {x^2} + 4x + 3;,f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = - 1 hfill cr x = - 3 hfill cr} 
ight.;fleft( { - 1} 
ight) = - {7 over 3};,fleft( { - 3} 
ight) = - 1

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 11 câu a

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 3, giá trị cực đại của hàm số là fleft( { - 3} 
ight) = - 1

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= -1, giá trị cực tiểu của hàm số là fleft( { - 1} 
ight) = - {7 over 3}

b) TXĐ: D=mathbb R

f'left( x 
ight) = {x^2} - 2x + 2 > 0 với mọi x inmathbb R (vì a > 0,Delta ' < 0)

Hàm số đồng biến trên mathbb R , không có cực trị.

c) TXĐ:D = mathbb Rackslash left{ 0 
ight}

f'left( x 
ight) = 1 - {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} over {{x^2}}};f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 1,,,,;fleft( 1 
ight) = 2 hfill cr x = - 1;fleft( { - 1} 
ight) = - 2 hfill cr} 
ight.

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 11 câu c

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-1, giá trị cực đại fleft( { - 1} 
ight) = - 2 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1, giá trị cực tiểu fleft( 1 
ight) = 2

d) TXĐ: D=mathbb R Hàm số liên tục trên mathbb R

fleft( x 
ight) = left{ matrix{ xleft( {x + 2} 
ight),,,,,,,x ge 0 hfill cr - xleft( {x + 2} 
ight),,,,,x < 0, hfill cr} 
ight.

Với x > 0:,f'left( x 
ight) = 2x + 2 > 0 với mọi x>0

Với x < 0:,f'left( x 
ight) = - 2x - 2,;,,f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = - 1,fleft( { - 1} 
ight) = 1

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 11 câu d

Hàm số đạt cực đại tại x= -1, giá trị cực đại fleft( { - 1} 
ight) = 1. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0, giá trị cực tiểu fleft( 0 
ight) = 0

e) TXĐ: D=mathbb R

f'left( x 
ight) = {x^4} - {x^2} = {x^2}left( {{x^2} - 1} 
ight)f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0;fleft( 0 
ight) = 2 hfill cr x = - 1;fleft( { - 1} 
ight) = {{32} over {15}} hfill cr x = 1;fleft( 1 
ight) = {{28} over {15}} hfill cr} 
ight.

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 11 câu e

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=-1, giá trị cực đại fleft( { - 1} 
ight) = {{32} over {15}}

Hàm số đạt cực tiểu tại x=1, giá trị cực tiểu fleft( 1 
ight) = {{28} over {15}}

f) TXĐ: D = {f{R}}ackslash left{ 1 
ight}

y'left( x 
ight) = {{left( {2x - 3} 
ight)left( {x - 1} 
ight) - left( {{x^2} - 3x + 3} 
ight)} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{{x^2} - 2x} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}}(f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0;fleft( 0 
ight) = - 3 hfill cr x = 2;fleft( 2 
ight) = 1 hfill cr} 
ight.

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao bài 11 câu f

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0, giá trị cực đạifleft( 0 
ight) = - 3

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=2, giá trị cực tiểu fleft( 2 
ight) = 1

Bài 12 sgk trang 17 Toán Nâng cao 12 Đại số và Giải tích

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=xsqrt{4-x^2}

b) y=sqrt{8-x^2}

c) y=x-sin2x+2

d) y=3-2cos x-cos2x

Giải

a) Tập xác định:D = left[ { - 2;2} 
ight]

y' = sqrt {4 - {x^2}} + x.{{ - x} over {sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - {x^2} - {x^2}} over {sqrt {4 - {x^2}} }} = {{4 - 2{x^2}} over {sqrt {4 - {x^2}} }}y' = 0 Leftrightarrow 4 - 2{x^2} = 0 Leftrightarrow x = pm sqrt 2left( { - sqrt 2 } 
ight) = - 2;yleft( {sqrt 2 } 
ight) = 2

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao câu a

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = - sqrt 2; giá trị cực tiểuyleft( { - sqrt 2 } 
ight) = - 2

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = sqrt 2; giá trị cực đại yleft( {sqrt 2 } 
ight) = 2

b) TXĐ: D = left[ { - 2sqrt 2 ;2sqrt 2 } 
ight]

y' = {{ - x} over {sqrt {8 - {x^2}} }};,y' = 0 Leftrightarrow x = 0;,yleft( 0 
ight) = 2sqrt 2

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 12 câu b

Hàm số đạt cực đại tại điểm x=0, giá trị cực đại yleft( 0 
ight) = 2sqrt 2

c) Áp dụng quy tắc 2.

TXĐ: D=mathbb R

,y' = 1 - 2cos 2x;y' = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi over 3} Leftrightarrow x = pm {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb {Z}}(y'' = 4sin 2x

* Ta có:y''left( {{pi over 6} + kpi } 
ight) = 4sin left( { - {pi over 3}} 
ight) = - 2sqrt 3 < 0

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm x = - {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}} giá trị cực đại

yleft( { - {pi over 6} + kpi } 
ight) = - {pi over 6} + kpi + {{sqrt 3 } over 2} + 2y''left( {{pi over 6} + kpi } 
ight) = 4sin left( {{pi over 3}} 
ight) = 2sqrt 3 > 0

Do đó hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}} giá trị cực tiểu:

yleft( {{pi over 6} + kpi } 
ight) = {pi over 6} + kpi - {{sqrt 3 } over 2} + 2

d) Áp dụng quy tắc 2.

,y' = 2sin x + 2sin 2x = 2sin xleft( {1 + 2cos x} 
ight);y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ sin x = 0 hfill cr cos x = - {1 over 2} hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left[ matrix{ x = kpi hfill cr x = pm {{2pi } over 3} + 2kpi ,k in {mathbb{Z}} hfill cr} 
ight.

y'' = 2cos x + y''left( {kpi } 
ight) = 2cos kpi + 4cos 2kpi = 2cos kpi + k in {mathbb{Z}}

Do đó hàm số đã cho đạt cực tiểu tại các điểm x = kpi, giá trị cực tiểu:

yleft( {kpi } 
ight) = 3 - 2cos kpi - cos 2kpi = 2 - 2cos kpi

y''left( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } 
ight) = 2cos {{2pi } over 3} + 4cos {{4pi } over 3} = 6cos {{2pi } over 3} = - 3 < 0.

Do đó hàm số đã cho đạt cực đại tại các điểm x = pm {{2pi } over 3} + k2pi ,k in {mathbb{Z}}; giá trị cực đại:

yleft( { pm {{2pi } over 3} + k2pi } 
ight) = 3 - 2cos {{2pi } over 3} - cos {{4pi } over 3} = {9 over 2}

Bài 13 sgk trang 17 Toán Nâng cao 12 Đại số và Giải tích

Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số: fleft( x 
ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + dsao cho hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x = 0,fleft( 0 
ight) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1,fleft( 1 
ight) = 1.

Giải

Ta có: f'left( x 
ight) = 3a{x^2} + 2bx + c

f đạt cực tiểu tại điểm x=0 nên f'left( 0 
ight) = 0 Rightarrow c = 0

fleft( 0 
ight) = 0 Rightarrow d = 0. Vậy fleft( x 
ight) = a{x^3} + b{x^2}

f đạt cực đại tại điểm x=1 nên f'left( 1 
ight) = 0 Rightarrow 3a + 2b = 0

fleft( 1 
ight) = 1 Rightarrow a + b = 1

Ta có hệ phương trình:

left{ matrix{ 3a + 2b = 0 hfill cr a + b = 1 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ a = - 2 hfill cr b = 3 hfill cr} 
ight.

Thử lại với a=-2, b=3, c=d=0 ta được:

fleft( x 
ight) = - 2{x^3} + 3{x^2};,,,,,,,f'left( x 
ight) = - 6{x^2} + 6x;,,,,,,f''left( x 
ight) = - 12x + 6

f''left( 0 
ight) = 6 > 0 : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; fleft( 0 
ight) = 0;f''left( 1 
ight) = - 6 < 0

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1;fleft( 1 
ight) = 1

Vậy a = - 2;b = 3;c = d = 0

Bài 14 sgk trang 17 Toán Nâng cao 12 Đại số và Giải tích

Xác định các hệ số a,b, c sao cho hàm số fleft( x 
ight) = {x^3} + a{x^2} + bx + cđạt cực trị bằng 0 tại điểm x=-2 và đồ thị của hàm số đi qua điểmAleft( {1;0} 
ight)

Giải

f'left( x 
ight) = 3{x^2} + 2ax + b f đạt cực trị tại điểm x=-2 nên f'left( { - 2} 
ight) = 0

Rightarrow ,12 - 4a + b = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 1 
ight)fleft( { - 2} 
ight) = 0 Rightarrow - 8 + 4a - 2b + c = 0,,,,left( 2 
ight)

Đồ thị hàm số đi qua điểmAleft( {1;0} 
ight)nên:(fleft( 1 
ight) = 0 Rightarrow 1 + a + b + c = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 3 
ight)

Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:

left{ matrix{ 4a - b = 12 hfill cr 4a - 2b + c = 8 hfill cr a + b + c = - 1 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ a = 3 hfill cr b = 0 hfill cr c = - 4 hfill cr} 
ight.

Vậy a=3, b=0, c=-4

Bài 15 sgk trang 17 Toán Nâng cao 12 Đại số và Giải tích

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, hàm số: y = {{{x^2} - mleft( {m + 1} 
ight)x + {m^3} + 1} over {x - m}} luôn có cực đại và cực tiểu

Giải

TXĐ: D = {mathbb{R}}ackslash left{ m 
ight}

eqalign{ & y' = {{left[ {2x - mleft( {m + 1} 
ight)} 
ight]left( {x - m} 
ight) - left[ {{x^2} - mleft( {m + 1} 
ight)x + {m^3} + 1} 
ight]} over {{{left( {x - m} 
ight)}^2}}} cr & ,,,,, = {{{x^2} - 2mx + {m^2} - 1} over {{{left( {x - m} 
ight)}^2}}},x 
e m cr}

eqalign{ & y' = 0 Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0 Leftrightarrow {left( {x - m} 
ight)^2} = 1 cr & ,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow left[ matrix{ x = m - 1;fleft( {m - 1} 
ight) = - {m^2} + m - 2 hfill cr x = m + 1;fleft( {m + 1} 
ight) = - {m^2} + m + 2 hfill cr} 
ight. cr}

Giải bài tập sgk Toán Nâng cao bài 15

Với mọi giá trị của m, hàm số đạt cực đại tại điểm x=m-1 và đạt cực tiểu tại điểm x= m+1

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn