Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 4

Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 4

15 02/12/2019

Bài 29 trang 27 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Xác định đỉnh I của mỗi parabol P sau đây. Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow {OI} và viết phương trình của parabol P đối với hệ tọa độ IXY.

a)y = 2{x^2} - 3x + 1

b)y = {1 over 2}{x^2} - x - 3;

c) y = x - 4{x^2}

d)y = 2{x^2} - 5

Giải

a) y' = 4x - 3;y' = 0 Leftrightarrow x = {3 over 4};yleft( {{3 over 4}} 
ight) = - {1 over 8}

Đỉnh Ileft( {{3 over 4}; - {1 over 8}} 
ight)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

overrightarrow {OI} :left{ matrix{ x = X + {3 over 4} hfill cr y = Y - {1 over 8} hfill cr} 
ight.

Phương trình của P đối với hệ tọa độ IXY là

Y - {1 over 8} = 2{left( {X + {3 over 4}} 
ight)^2} - 3left( {X + {3 over 4}} 
ight) + 1 Leftrightarrow Y = 2{X^2}

b) y' = x - 1;y' = 0 Leftrightarrow x = 1;yleft( 1 
ight) = - {7 over 2}

Đỉnh Ileft( {1; - {7 over 2}} 
ight)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

overrightarrow {OI} :left{ matrix{ x = 1 + X hfill cr y = - {7 over 2} + Y hfill cr} 
ight.

Phương trình của P đối với hệ tọa độ IXY là

Y - {7 over 2} = {1 over 2}{left( {X + 1} 
ight)^2} - left( {X + 1} 
ight) - 3 Leftrightarrow Y = {1 over 2}{X^2}

c) y' = 1 - 8x;y' = 0 Leftrightarrow x = {1 over 8};yleft( {{1 over 8}} 
ight) = {1 over {16}}

Đỉnh Ileft( {{1 over 8};{1 over {16}}} 
ight)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

overrightarrow {OI} :left{ matrix{ x = X + {1 over 8} hfill cr y = Y + {1 over {16}} hfill cr} 
ight.

Phương trình của P đối với hệ tọa độ IXY là

Y + {1 over {16}} = X + {1 over 8} - 4{left( {X + {1 over 8}} 
ight)^2} Leftrightarrow Y = - 4{X^2}

d) y' = 4x;y' = 0 Leftrightarrow x = 0;yleft( 0 
ight) = - 5

Đỉnh Ileft( {0; - 5} 
ight)

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo

overrightarrow {OI} :left{ matrix{ x = X hfill cr y = Y - 5 hfill cr} 
ight.

Phương trình của P đối với hệ tọa độ IXY là

Y - 5 = 2{X^2} - 5 Leftrightarrow Y = 2{X^2}

Bài 30 trang 27 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cho hàm số fleft( x 
ight) = {x^3} - 3{x^2} + 1

a) Xác định điểm I thuộc đồ thị C của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f''left( x 
ight) = 0
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép định tiến theo vectơ overrightarrow {OI} và viết phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong C

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm I đối với hệ tọa độ Oxy. Chứng minh rằng trên khoảngleft( { - infty ;1} 
ight) đường cong C nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của C và trên khoảng left( {1; + infty } 
ight) đường cong C nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Hướng dẫn: Trên khoảng left( { - infty ;1} 
ight), đường cong C nằm phía dưới tiếp tuyếny = ax + b nếu fleft( x 
ight) < ax + b với mọi x<1

Giải

a) f'left( x 
ight) = 3{x^2} - 6x;f''left( x 
ight) = 6x - 6(f''left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 1;fleft( 1 
ight) = - 1

Vậy Ileft( {1; - 1} 
ight)
b) Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo overrightarrow {OI} là

left{ matrix{ x = X + 1 hfill cr y = Y - 1 hfill cr} 
ight.

Phương trình đường cong C đối với hệ tọa độ IXY là

eqalign{ & Y - 1 = {left( {X + 1} 
ight)^3} - 3{left( {X + 1} 
ight)^2} + 1 cr & ,,,,,,,,,,, = {X^3} + 3{X^2} + 3X + 1 - 3{X^2} - 6X - 3 + 1 Leftrightarrow Y = {X^3} - 3X cr}

Vì đây là một hàm số lẻ nên đồ thị C của nó nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

c) Phương trình tiếp tuyến của đường cong C tại điểm I đối với hệ trục tọa độ Oxy là:

Đặt

gleft( x 
ight) = - 3x + 2fleft( x 
ight) - gleft( x 
ight) = {x^3} - 3{x^2} + 1 - left( { - 3x + 2} 
ight) = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 = {left( {x - 1} 
ight)^3}
Vì fleft( x 
ight) - gleft( x 
ight)<0 với x<1

Do đó trên khoảng left( { - infty ;1} 
ight), (C) nằm phía dưới tiếp tuyến tại I của C và trên khoảng left( {1; + infty } 
ight), C nằm phía trên tiếp tuyến đó.

Bài 31 trang 27 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cho đường cong C có phương trình là y = 2 - {1 over {x + 2}} và điểm Ileft( { - 2;2} 
ight). Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow {OI} và viết phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của C.

Giải

Công thức chuyển trục tọa độ tịnh tiến theo overrightarrow {OI}

left{ matrix{ x = X - 2 hfill cr y = Y + 2 hfill cr} 
ight.

Phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY

Y + 2 = 2 - {1 over {X - 2 + 2}} Leftrightarrow Y = {{ - 1} over X}

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Bài 32 trang 28 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a)y = {2 over {x - 1}} + 1;

b) y = {{3x - 2} over {x + 1}}
Hướng dẫn:  Viết công thức đã cho dưới dạng y = 3 - {5 over {x + 1}}

Giải

a) Ta có:  y = {2 over {x - 1}} + 1 Leftrightarrow y - 1 = {2 over {x - 1}}

Đặt

left{ matrix{ y - 1 = Y hfill cr x - 1 = X hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ y = Y + 1 hfill cr x = X + 1 hfill cr} 
ight.

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo overrightarrow {OI} với I(1;1)
Khi đó Y = {2 over X}là phương trình của (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.
b) Ta có  y = {{3x - 2} over {x + 1}} = {{3left( {x + 1} 
ight) - 5} over {x + 1}} = 3 - {5 over {x + 1}} Leftrightarrow y - 3 = {{ - 5} over {x + 1}}

Đặt

left{ matrix{ x + 1 = X hfill cr y - 3 = Y hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ x = X - 1 hfill cr y = Y + 3 hfill cr} 
ight.

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theooverrightarrow {OI} với I(-3;3)và Y = {{ - 5} over X} là phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY Y = {{ - 5} over X} là hàm lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Bài 33 trang 28 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cho đường cong C có phương trình y = ax + b + {c over {x - {x_o}}} trong đó a 
e 0, c 
e 0 và điểmIleft( {{x_o};{y_o}} 
ight) thỏa mãn: {y_o} = a{x_o} + b . Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow {OI} và phương trình của C đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong C

Giải

Ta có:

y = ax + b + {c over {x - {x_o}}} Leftrightarrow y = aleft( {x - {x_o}} 
ight) + a{x_o} + b + {c over {x - {x_o}}} Leftrightarrow y - {y_o} = aleft( {x - {x_o}} 
ight) + {c over {x - {x_o}}}

Đặt

left{ matrix{ x - {x_o} = X hfill cr y - {y_o} = Y hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ x = X + {x_o} hfill cr y = Y + {y_o} hfill cr} 
ight.

Đây là công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ overrightarrow {OI} với Ileft( {{x_o};{y_o}} 
ight) và Y = X + {c over X} là phương trình của C đối với hệ tọa độ IXY, Y = aX + {c over X} là hàm số lẻ nên đồ thị C nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn