Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 1

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 1

20 02/12/2019

Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1

b) ,y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1

c) y = x + {3 over x}           

d) y = x - {2 over x}

e) y = {x^4} - 2{x^2} - 5  

f) y = sqrt {4 - {x^2}}

Giải

a) Tập xác định:D =mathbb R

eqalign{ & y' = 6{x^2} + 6x cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0,,left( {y = 1} 
ight) hfill cr x = - 1,,left( {y = 2} 
ight) hfill cr} 
ight. cr}

Giải bài tập toán 12 nâng cao bài 1 câu a

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ; - 1} 
ight)và left( {0; + infty } 
ight)nghịch biến trên khoảngleft( { - 1;0} 
ight)

b) Tập xác định: D =mathbb R

eqalign{ & y' = 3{x^2} - 4x + 1 cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 1,,left( {y = 1} 
ight) hfill cr x = {1 over 3},,left( {y = {{31} over {27}}} 
ight) hfill cr} 
ight. cr}

Bảng biến thiên

Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 1 câu b

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ;{1 over 3}} 
ight) và ,left( {1; + infty } 
ight), nghịch biến trên khoảng ,left( {{1 over 3};1} 
ight).

c) Tập xác định: D =mathbb Rackslash left{ 0 
ight}

eqalign{ & y' = 1 - {3 over {{x^2}}} = {{{x^2} - 3} over {{x^2}}} cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = sqrt 3 ,,left( {y = 2sqrt 3 } 
ight) hfill cr x = - sqrt 3 ,,left( {y = - 2sqrt 3 } 
ight) hfill cr} 
ight. cr}

Bảng biến thiên

Giải bài tập toán 12 nâng cao bài 1 câu c

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ; - sqrt 3 } 
ight) và ,left( {sqrt 3 ; + infty } 
ight), nghịch biến trên khoảng left( { - sqrt 3 ;0} 
ight) và ,left( {0;sqrt 3 } 
ight)

d) Tập xác định: D = mathbb Rackslash left{ 0 
ight}

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ,,left( { - infty ;0} 
ight) và left( {0; + infty } 
ight)

e) Tập xác định: D= mathbb R

y' = 4{x^3} - 4x = 4xleft( {{x^2} - 1} 
ight);y' = 0

Leftrightarrow ,left[ matrix{ x = 0,,,,left( {y = - 5} 
ight) hfill cr x = pm 1,,,,left( {y = - 6} 
ight) hfill cr} 
ight.

Bảng biến thiên

Giải bài tập toán nâng cao bài 1 câu e

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng,left( { - infty ; - 1} 
ight)left( {0;1} 
ight), đồng biến trên mỗi khoảng left( { - 1;0} 
ight) và left( {1; + infty } 
ight)

f) Hàm số xác định khi và chỉ khi 4 - {x^2} ge 0 Leftrightarrow - 2 le x le 2

Tập xác định: D = left[ { - 2;2} 
ight]

y' = {{ - 2x} over {2sqrt {4 - {x^2}} }} = {{ - x} over {sqrt {4 - {x^2}} }};y' = 0 Leftrightarrow x = 0,,,left( {y = 2} 
ight)

Bảng biến thiênleft( {1; + infty } 
ight)

Giải bài tập Toán 12 nâng cao câu f

Hàm số đồng biến trên khoảng left( { - 2;0} 
ight)và nghịch biến trên khoảng left( {0;2} 
ight) .

Bài 2 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:

a) Hàm số y = {{x - 2} over {x + 2}} đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

b)Hàm số y = {{ - {x^2} - 2x + 3} over {x + 1}} nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Giải

a) Tập xác định:  

D =mathbb Rackslash left{ { - 2} 
ight}y' = {{left| matrix{ 1,,,, - 2 hfill cr 1,,,,,,,,2 hfill cr} 
ight|} over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}} = {4 over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}} > 0 vớimọi x 
e - 2

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảngleft( { - infty ; - 2} 
ight) và left( { - 2; + infty } 
ight)

b)Tập xác định:

D =mathbb Rackslash left{ { - 1} 
ight}(y' = {{left( { - 2x - 2} 
ight)left( {x + 1} 
ight) - left( { - {x^2} - 2x + 3} 
ight)} over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x - 5} over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} < 0 với mọi x 
e - 1

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng left( { - infty ; - 1} 
ight)và left( { - 1; + infty } 
ight)

Bài 3 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

 Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên mathbb R

a) fleft( x 
ight){x^3} - 6{x^2} + 17x + 4

b)fleft( x 
ight){x^3} + x - cos x - 4

Giải

a) Tập xác định:D =mathbb R

f'left( x 
ight) = 3{x^2} - 12x + 17 > 0 với mọi x in mathbb R (vì a > 0,Delta ' < 0)

Hàm số đồng biến trên mathbb R

b) Tập xác định:D =mathbb R

f'left( x 
ight) = 3{x^2} + 1 + sin x

Vì 1 + sin x ge 0 và 3{x^2} ge 0 nên f'left( x 
ight) ge 0 với mọi x in mathbb R, với (x = 0) thì 1 + sin x = 1 > 0nên f'left( x 
ight) > 0,,,orall x in mathbb R do đó hàm số đồng biến trên mathbb R

Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Với các giá trị nào của a hàm số (y = ax - {x^3}) nghịch biến trên mathbb R

Giải

Tập xác định: D=mathbb R

y' = a - 3{x^2}

• Nếu a < 0 thì y' < 0 với mọi x in {mathbb R}, khi đó hàm số nghịch biến trênmathbb R

• Nếu a = 0 thì y' = - 3{x^2} le 0với mọi x in {mathbb R},y'=0Leftrightarrow x=0.

Vậy hàm số nghịch biến trên mathbb R.

• Nếu a > 0 thì y' = 0 Leftrightarrow x = pm {sqrt {a over 3}}

Bảng biến thiên

Giải bài tập toán SGK 12 nâng cao bài 4

Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên {mathbb R}

Vậy hàm số nghịch biến trên {mathbb R} khi và chỉ khi a le 0

Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các giá trị của tham sốa để hàm số fleft( x 
ight) = {1 over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3đồng biến trên mathbb R

Giải

Tập xác địnhD = mathbb Rf'left( x 
ight) = {x^2} + 2ax + 4; Delta = {a^2} - 4

Hàm số đồng biến trên mathbb R khi và chỉ khi:

(f'left( x 
ight) ge 0,,orall x inmathbb R Leftrightarrow left{ matrix{ 1 > 0 hfill cr Delta ' le 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ 1 > 0 hfill cr {a^2} - 4 le 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow - 2 le a le 2

Vậy - 2 le a le 2 thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = {1 over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5

b)y = - {4 over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 over 3}

c) y = {{{x^2} - 8x + 9} over {x - 5}}

d) y = sqrt {2x - {x^2}}

e) y = sqrt {{x^2} - 2x + 3}

f) y = {1 over {x + 1}} - 2x

Giải

a) TXĐ: D=mathbb R
y' = {x^2} - 4x + 4 = {left( {x - 2} 
ight)^2} ge 0, orall x in mathbb R dấu bằng chỉ xảy ra khi x=2

Vậy hàm số đồng biến trên mathbb R

b) TXĐ: D=mathbb R

y' = - 4{x^2} + 12x - 9 = - left( {4{x^2} - 12x + 9} 
ight) = - {left( {2x - 3} 
ight)^2} le 0,orall x in mathbb R dấu bằng chỉ xảy ra khi x = {3 over 2} Vậy hàm số nghịch biến trên mathbb R

c) TXĐ: D = mathbb Rackslash left{ 5 
ight}

y' = {{left( {2x - 8} 
ight)left( {x - 5} 
ight) - left( {{x^2} - 8x + 9} 
ight)} over {{{left( {x - 5} 
ight)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} over {{{left( {x - 5} 
ight)}^2}}} > 0với mọi x 
e 5

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ;5} 
ight) và left( {5; + infty } 
ight)

d) Hàm số xác định khi và chỉ khi2x - {x^2} ge 0 Leftrightarrow 0 le x le 2

TXĐ: D = left[ {0;2} 
ight]y' = {{2 - 2x} over {2sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} over {sqrt {2x - {x^2}} }};y' = 0 Leftrightarrow x = 1,,,,left( {y = 1} 
ight)

Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 6 câu d

Hàm số đồng biến trên khoảngleft( {0;1} 
ight)và nghịch biến trên khoảng left( {1;2} 
ight)

e) TXĐ: D = mathbb R(vì {x^2} - 2x + 3 > 0,orall x in mathbb R)

y' = {{2x - 2} over {2sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = {{x - 1} over {sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}; y' = 0 Leftrightarrow x = 1,,,(y = sqrt 2 )

Bảng biến thiên

Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 6 câu e

Hàm số nghịch biến trên khoảngleft( { - infty ;1} 
ight) và đồng biến trên khoảng left( {1; + infty } 
ight)

f) TXĐ: D =mathbb R ackslash left{ { - 1} 
ight}

y' = - {1 over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} - 2 < 0,,,orall x 
e - 1

Hàm số nghịch biến trên khoảngleft( { - infty ; - 1} 
ight) và đồng biến trên khoảng left( { - 1; + infty } 
ight)

Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng hàm số:fleft( x 
ight) = cos 2x - 2x + 3 nghịch biến trên mathbb R

Giải

TXĐ:D=mathbb R

f'left( x 
ight) = - 2sin 2x - 2 le 0Leftrightarrow - 2left( {sin 2x + 1} 
ight) le 0,orall x in mathbb R

f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow sin 2x = - 1 Leftrightarrow 2x = - {pi over 2} + k2pi ,k in mathbb ZLeftrightarrow x = - {pi over 4} + kpi ,k in mathbb Z

Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn left[ { - {pi over 4} + kpi ; - {pi over 4} + kpi + pi } 
ight]

Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi mathbb R

Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin x < x với mọi x > 0,sin x > x với mọi x < 0

b) cos x > 1 - {{{x^2}} over 2} với mọi x 
e 0

c) sin x > x - {{{x^3}} over 6} với mọix > 0; sin x < x - {{{x^3}} over 6}với mọi x<0

Giải

a) Hàm số fleft( x 
ight) = x - sin x liên tục trên nửa khoảng left[ {0;{pi over 2}} 
ight)và có đạo hàm f'left( x 
ight) = 1 - cos x > 0 với mọix in left( {0;{pi over 2}} 
ight). Do đó hàm số đồng biến trên left[ {0;{pi over 2}} 
ight), từ đó với mọi x in left( {0;{pi over 2}} 
ight)ta có:

fleft( x 
ight) > fleft( 0 
ight) = 0 Rightarrow x - sin x > 0,,orall x in left( {0;{pi over 2}} 
ight). Với x ge {pi over 2} thì x > 1 ge sin x

Vậy sin x < x với mọi (x > 0

* Với mọi x<0, áp dụng chứng minh trên ta có:

sin left( { - x} 
ight) < - x Rightarrow - sin x < - x Rightarrow sin x > x

Vậy sin x > x với mọix<0

b) Hàm số gleft( x 
ight) = cos x + {{{x^2}} over {2 - 1}} liên tục trênleft[ {0; + infty } 
ight)và có đạo hàm g'left( x 
ight) = x - sin x

Theo câu a) g'left( x 
ight) > 0 với mọi x>0nên hàm số g đồng biến trên left[ {0; + infty } 
ight), khi đó ta có

gleft( x 
ight) > gleft( 0 
ight) = 0 với mọi x>0

tức làcos x + {{{x^2}} over 2} - 1 > 0 với mọi x>0 hay cos x > 1 - {{{x^2}} over 2} với mọi x>0(1)

Với mọi x0 nên theo (1) ta có:

cos left( { - x} 
ight) > 1 - {{{{left( { - x} 
ight)}^2}} over 2}, Leftrightarrow cos x > 1 - ,{{{x^2}} over 2} với mọi x

Từ (1) và (2) suy ra: (cos x > 1 - ,{{{x^2}} over 2} với mọi x 
e 0

c) Hàm sốhleft( x 
ight) = sin x - x + {{{x^3}} over 6}có đạo hàm h'(x) = cos x - 1 + {{{x^2}} over 2} > 0 với mọi x 
e 0 (câu b)

Do đó h đồng biến trên mathbb R nên ta có:

hleft( x 
ight) > hleft( 0 
ight) = 0,orall x > 0 và hleft( x 
ight) < hleft( 0 
ight) = 0,orall x < 0

Từ đó suy ra: sin x > x - {{{x^3}} over 6} với mọi x>0 sin x < x - {{{x^3}} over 6}với mọi x<0

Bài 9 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao.

 Chứng minh rằng: sin x + 	an x > 2x với mọi x in left( {0;{pi over 2}} 
ight)

Giải

Chứng minh hàm số fleft( x 
ight) = sin x + 	an x - 2x đồng biến trên nửa khoảng left[ {0;{pi over 2}} 
ight)

Hàm sốfleft( x 
ight) = sin x + 	an x - 2x liên tục trên nửa khoảng left[ {0;{pi over 2}} 
ight) và có đạo hàm:f'left( x 
ight) = cos x + {1 over {{{cos }^2}x}}, - 2

Vì in left( {0;{pi over 2}} 
ight) nên 0 < cos x < 1 Rightarrow cos x > {cos ^2}x Rightarrow cos x + {1 over {{{cos }^2}x}}, - 2 > {cos ^2}x + {1 over {{{cos }^2}x}}, - 2 > 0

(vì {cos ^2}x + {1 over {{{cos }^2}x}} > 2 với mọi ,x in left( {0;{pi over 2}} 
ight))) Do đó f'left( x 
ight) > 0 với mọi x in left( {0;{pi over 2}} 
ight)

Suy ra hàm số f đồng biến trên ,left[ {0;{pi over 2}} 
ight)

Khi đó ta có fleft( x 
ight) > fleft( 0 
ight) = 0 với mọi x in left( {0;{pi over 2}} 
ight) tức là sin x + 	an x > 2x với mọi x in left( {0;{pi over 2}} 
ight)

Bài 10 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức: fleft( t 
ight) = {{26t + 10} over {t + 5}},fleft( t 
ight) được tính bằng nghìn người).

a) Tính số dân của thị trấn vào năm 1980và năm1995

b) Xemf là một hàm số xác định trên nửa khoảngleft[ {0; + infty } 
ight),. Tínhf' và xét chiều biến thiên của hàm sốf trên nửa khoảng left[ {0; + infty } 
ight),

c) Đạo hàm của hàm số f biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn ( tính bằng nghìn người/năm).

• Tính tốc độ tăng dân số vào năm 1990và năm 2008của thị trấn.

• Vào năm nào thì tốc độ gia tăng dân số là 0,125 nghìn người/năm?

Giải

a) Vào năm 1980 thì t = 10, số dân của thị trấn năm1980 là:

fleft( {10} 
ight) = {{260 + 10} over {10 + 5}} = 18nghìn người

Vào năm1995thì (t=25) , số dân của thị trấn năm 1995 là:

fleft( {25} 
ight) = {{26.25 + 10} over {25 + 5}} = 22nghìn người.

b) Ta có: f'left( t 
ight) = {{120} over {{{left( {t + 5} 
ight)}^2}}} > 0 với mọi t>0

Hàm số đồng biến trên left[ {0; + infty } 
ight)

c) Tốc độ tăng dân số vào năm 1990 làf'left( {20} 
ight) = {{120} over {{{25}^2}}} = 0,192

Tốc độ tăng dân số vào năm2008là f'left( {38} 
ight) = {{120} over {{{43}^2}}} pprox 0,065{{120} over {{{left( {t + 5} 
ight)}^2}}} = 0,125 Leftrightarrow t + 5 = sqrt {{{120} over {0,125}}} pprox 31 Rightarrow t pprox 26

Vào năm 1996 tốc độ tăng dân số của thị trấn là 0,125

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn