Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 2 bài 1: Lũy thừa với số mũ

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 2 bài 1: Lũy thừa với số mũ

17 02/12/2019

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 2 bài 1: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Giải bài 1 trang 75 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích 

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Với số thực a và các số nguyên m, n, ta có

am.an= am.nrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}

b) Với hai số thực a, b cùng khác 0 và số nguyên n, ta có:

(a.b)n= an.bleft(rac{a}{b}
ight)^n=rac{a^n}{b^n}

c) Với hai số thực a, b thỏa mãn 0

Nếu m>n thì am>an" style="padding-top: 1px; padding-bottom: 1px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; font-size: 15.6px; line-height: 0; font-family: "Open Sans", sans-serif; display: inline-block; text-align: left; overflow-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; color: rgb(68, 68, 68); position: relative;">am>an.

Giải

a) Sai.

b) Đúng.

c) Sai ( chẳng hạn0<2 {2^{ - 3}}).
d) Sai ( chẳng hạn 3>2 nhưng left(rac{1}{2}
ight)^3<left(rac{1}{2}
ight)^2

Giải bài 2 trang 75 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Xét khẳng định: “Với số thực a và hai số hữu tỉ r, s, ta có ( ar))8= ar8

Với điều kiện nào trong các điều kiện sau thì khẳng định trên đúng?

(A) a bất kì   (B) a≠0

(C) a>0   (D) a<1.

Giải

( C) đúng.

Giải bài 3 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Viết các số sau dưới dạng số nguyên hay phân số tối giản:

7−1.14; rac{4}{3^{-2}};left(rac{4}{5}
ight)^{-2}rac{left(-18
ight)^2.5}{^{ }15^2.3}

Giải

7−1.14 =  rac{14}{7}=2

rac{4}{3^{-2}}=4.3^2=36

left(rac{4}{5}
ight)^{-2}=left(rac{5}{4}
ight)^2=rac{25}{16}

rac{left(-18
ight)^2.5}{15^2.3}=rac{18^2.5}{5^2.3^3}=rac{2^2.5.3^4}{5^2.3^3}=rac{2^2.3}{5}=rac{12}{5}

Giải bài 4 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) 81−0,75   +left(rac{1}{125}
ight)^{^{rac{-1}{3}}} −  left(rac{1}{32}
ight)^{rac{-3}{5}}

b) left(0,001
ight)^{rac{-1}{3}}−(−2)−2.left(64
ight)^{rac{2}{3}}left(8
ight)^{1rac{1}{3}}+(9o)2

c) left(27
ight)^{rac{2}{3}}+left(rac{1}{16}
ight)^{-0,75}−250,5

d) (−0,5)−4−6250,25− left(2rac{1}{4}
ight)^{-1rac{1}{2}}+ 19.(-3)-3

Giải

a) 81−0,75+left(rac{1}{125}
ight)^{rac{-1}{3}}left(rac{1}{32}
ight)^{rac{-3}{5}}left(3^4
ight)^{rac{-3}{4}}left(left(rac{1}{5}
ight)^3
ight)^{rac{-1}{3}}-left(left(rac{1}{2}
ight)^5
ight)^{rac{-3}{5}}

=(3)−3+left(rac{1}{5}
ight)^{-1}left(rac{1}{2}
ight)^{-3}=rac{1}{27}+5-8=rac{1}{27}-3=rac{-80}{27}

b)left(0,001
ight)^{rac{-1}{3}}−(−2)−2.64^{rac{2}{3}}left(-8
ight)^{-1rac{1}{3}}+(9o)2=left(10^{-3}
ight)^{rac{-1}{3}}−2−2.left(2^6
ight)^{^{rac{2}{3}}}left(2^3
ight)^{rac{-4}{3}}+1

=10−22−2−4+1=7-rac{1}{16}=rac{111}{16}

c) 27^{rac{2}{3}}+left(rac{1}{16}
ight)^{-0,75}− 250,5left(3^3
ight)^{rac{2}{3}}+left(2^{-4}
ight)^{rac{-3}{4}}left(5^2
ight)^{rac{1}{2}}= 32+23−5=12

d) (−0,5)−4− 6250,25left(2rac{1}{4}
ight)^{-1rac{1}{2}}+19(−3)−3=((−2)−1)−4left(5^4
ight)^{rac{1}{4}}− left(left(rac{3}{2}
ight)^2
ight)^{rac{-3}{2}} +  rac{19}{-27}

=24−5−left(rac{3}{2}
ight)^{-3}−  rac{19}{27}= 11−  rac{8}{27}−   rac{19}{27}=  10.

Giải bài 5 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Đơn giản biểu thức ( với a, b là những số dương)

a.  rac{left(sqrt[4]{a^3b^2}
ight)^4}{sqrt[3]{sqrt{left(a^{12}b^6
ight)}}}

b. rac{a^{rac{1}{3}}-a^{rac{7}{3}}}{a^{rac{1}{3}}-a^{rac{4}{3}}}-rac{a^{rac{-1}{3}}-a^{rac{5}{3}}}{a^{rac{2}{3}}+a^{rac{-1}{3}}}

Giải

a.rac{left(sqrt[4]{left(a^3b^2
ight)}
ight)^4}{sqrt[3]{sqrt{a^{12}b^6}}}=rac{a^3b^2}{sqrt[6]{left(a^{12}b^6
ight)}}=rac{a^3b^2}{a^2b}=ab

b. rac{a^{rac{1}{3}}-a^{rac{7}{3}}}{a^{rac{1}{3}}-a^{rac{4}{3}}}-rac{a^{rac{-1}{3}}-a^{rac{5}{3}}}{a^{rac{2}{3}}+a^{rac{-1}{3}}}=rac{a^{rac{1}{3}}left(1-a^2
ight)}{a^{rac{1}{3}}left(1-a
ight)}-rac{a^{rac{-1}{3}}left(1-a^2
ight)}{a^{rac{-1}{3}}left(a+1
ight)}=1+a-left(1-a
ight)=2a

Giải bài 6 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

So sánh các số

a. sqrt{2 } và sqrt[3]{3}

b. sqrt{3} + sqrt[3]{30} và sqrt[3]{63}

c.sqrt[3]{7}+sqrt{15} vàsqrt{10}+sqrt[3]{28}

Giải

a. Ta có left(sqrt{2}
ight)^6=2^3=8; left(sqrt[3]{3}
ight)^6=3^{^2}=9

Do 9>8 nên ta có left(sqrt{2}
ight)^{6 }left(sqrt[3]{3}
ight)^6 do đó sqrt{2}< sqrt[3]{3}

b. sqrt{3}+sqrt[3]{30}>1+sqrt[3]{27}=4=sqrt[3]{64}>sqrt[3]{63}

c. sqrt[3]{7}+sqrt{15 }< 2+4=3+3<sqrt{10}+sqrt[3]{28}

Giải bài 7 trang 76 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Chứng minh sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)}+sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)}=2

Giải

Đặt sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)}+sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)}=x ta có 

x^3=left(sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)}+sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)}
ight)^37+5sqrt{2}+7-5sqrt{2 }+3sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)^2}.sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)}+3sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)}.sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)^2}

= 14-3 left(sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)}+sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)}
ight)=14-3x

Từ đó suy ra: x3+3x−14=0 (1)

(1)⇔(x−2)(x2+2x+7)=0⇔x−2=0⇔x=2 ( vì x2+2x+7>0)

Vậy sqrt[3]{left(7+5sqrt{2}
ight)}+sqrt[3]{left(7-5sqrt{2}
ight)}=2

Giải bài 8 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Đơn giản biểu thức:

a. rac{sqrt{a}-sqrt{b}}{sqrt[4]{a}-sqrt[4]{b}}-rac{sqrt{a}+sqrt[4]{ab}}{sqrt[4]{a}+sqrt[4]{b}}

b. rac{a-b}{sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}}-rac{a+b}{sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}}

c.left(rac{a+b}{sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}}-sqrt[3]{ab}
ight):left(sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}
ight)^2

d. rac{a-1}{a^{rac{3}{4}}+a^{rac{1}{2}}}.rac{sqrt{a}+sqrt[4]{a}}{sqrt{a}+1}.a^{rac{1}{4}}+1

Giải

a.rac{sqrt{a}-sqrt{b}}{sqrt[4]{a}-sqrt[4]{b}}-rac{sqrt{a}+sqrt[4]{ab}}{sqrt[4]{a}+sqrt[4]{b}}=rac{left(sqrt[4]{a}+sqrt[4]{b}
ight).left(sqrt[4]{a}-sqrt[4]{b}
ight)}{sqrt[4]{a}-sqrt[4]{b}}-rac{sqrt[4]{a}left(sqrt[4]{a}+sqrt[4]{b}
ight)}{sqrt[4]{a}+sqrt[4]{b}}=sqrt[4]{b}

b. rac{a-b}{sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}}-rac{a+b}{sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}}

=rac{left(sqrt[3]{a}
ight)^3-left(sqrt[3]{b}
ight)^3}{sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}}-rac{left(sqrt[3]{a}
ight)^3+left(sqrt[3]{b}
ight)^3}{sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}}^{ }

sqrt[3]{a^{2 }}+sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2}-left(sqrt[3]{a^2}-sqrt[3]{ab }+sqrt[3]{b^2}
ight)=2sqrt[3]{ab}

c. left(rac{a+b}{sqrt[3]{a}+sqrt[3]{b}}-sqrt[3]{ab}
ight):left(sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}
ight)^2=left(sqrt[3]{a^2}-sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2}-sqrt[3]{ab}
ight): left(sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}
ight)^{^2}

left(sqrt[3]{a^2}-2sqrt[3]{ab}+sqrt[3]{b^2}
ight):left(sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}
ight)^{^2}

=left(sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}
ight)^2: left(sqrt[3]{a}-sqrt[3]{b}
ight)^2=1

d. rac{a-1}{a^{rac{3}{4}}+a^{rac{1}{2}}}.rac{sqrt{a}+sqrt[4]{a}}{sqrt{a}+1}.a^{rac{1}{4}}+1

rac{left(sqrt{a}+1
ight)left(sqrt{a}-1
ight)}{sqrt{aleft(sqrt[4]{a}+1
ight)}}.rac{sqrt[4]{a}left(sqrt[4]{a}+1
ight)}{sqrt{a}+1}.sqrt[4]{a}+1

sqrt{a}-1 +1 =sqrt{a}

Giải bài 9 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Từ tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, chứng minh:

sqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}. sqrt[n]{b} ( a≥0,b≥0 a≥0,b≥0, n nguyên dương)

Giải

Theo tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên dương, ta có:

left(sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}
ight)^n=left(sqrt[n]{a}
ight)^n. left(sqrt[n]{b}
ight)^n=ab

Do đó theo định nghĩa căn bậc n của một số, ta có sqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}.sqrt[n]{b}

Giải bài 10 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Chứng minh

a. sqrt{left(4+2sqrt{3}
ight)}-sqrt{left(4-2sqrt{3}
ight)}=2

b. sqrt[3]{left(9+sqrt{80}
ight)}+sqrt[3]{left(9-sqrt{80}
ight)}= 3

Giải

a. Ta có 4 pm 2sqrt{3}=left(sqrt{3}
ight)^2 pm 2sqrt{3}+1=left(sqrt{3}pm1
ight)^2

nên sqrt{left(4+2sqrt{3}
ight)}-sqrt{left(4-2sqrt{3}
ight)}=left(sqrt{3}+1
ight)-left(sqrt{3}-1
ight)=2

b. Đặt x=sqrt[3]{left(9+sqrt{80}
ight)}+sqrt[3]{left(9-sqrt{80}
ight)}

Ta có: x^3=left(sqrt[3]{left(9+sqrt{80}
ight)}+sqrt[3]{left(9-sqrt{80}
ight)}
ight)^3

=9+sqrt{80}+9-sqrt{80}+3sqrt[3]{9+sqrt{80}}.sqrt[3]{9-sqrt{80}}.x

18+3sqrt[3]{81-80}.x

=18 + 3x

Do đó: x3−3x−18=0 (∗)

Mà x3−3x−18=(x−3)(x2+3x+6) nên từ phương trình đã cho suy ra

x=3 (vì x2+3x+6>0,∀x)

Vậy sqrt[3]{left(9+sqrt{80}
ight)}+sqrt[3]{left(9-sqrt{80}
ight)}=3

Giải bài 11 trang 78 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

So sánh các số 

a. left(sqrt{3}
ight)^{rac{5}{6}} và sqrt[3]{3^{-1}.sqrt[4]{rac{1}{3}}}

b. 3600 và 5400

C.left(rac{1}{2}
ight)^{rac{-5}{7}} và sqrt{2}.2^{rac{3}{14}}

d.  730 và 440

Giải

a. left(sqrt{3}
ight)^{rac{-5}{6}}=3^{rac{-5}{12}} và sqrt[3]{3^{-1}.sqrt[4]{rac{1}{3}}}=sqrt[3]{3^{-1}.rac{1}{3^{rac{1}{4}}}}=sqrt[3]{3^{-1}.3^{rac{-1}{4}}}=sqrt[3]{3^{rac{-5}{4}}}=3^{rac{-5}{12}}

vậy left(sqrt{3}
ight)^{rac{-5}{6}}=sqrt[3]{3^{-1}.sqrt[4]{rac{1}{3}}}

b. Ta có: 3600=(33)200=27200 và 5400=(52)200=25200

Vậy 3600 > 5400

C. Ta có left(rac{1}{2}
ight)^{rac{-5}{7}}=2^{rac{5}{7}} và sqrt{2}.2^{rac{3}{14}}=2^{rac{1}{2}}.2^{rac{3}{14}}=2^{rac{1}{2}+rac{3}{14}}=2^{rac{5}{7}}

Vậy left(rac{1}{2}
ight)^{rac{-5}{7}}=sqrt{2}.2^{rac{3}{14}}

d. Ta có: 730=(73)10=34310

440=(44)10=25610

Vậy 730 >440

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn