Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 8: Một số bài toán thư

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 8: Một số bài toán thư

25 02/12/2019

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 8: Một số bài toán thường gặp về đồ thị

Bài 57 trang 55 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: fleft( x 
ight) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1

b) Tìm các giao điểm của đường cong (C) và parabol: (P):,,,gleft( x 
ight) = 2{x^2} + 1

c) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại mỗi giao điểm của chúng.

d) Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dưới (C).

Giải

a) Tập xác định: D=mathbb R

f'(x)=6x^2+6xf'(x)=0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = - 1 hfill cr} 
ight.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập sgk Toán Nâng cao bài 57 câu a

- Hàm số đồng biến trên( - infty ;-1) và (0; + infty )

- Hàm số nghịch biến trên (-1;0)

- Hàm số đạt cực tại x=-1;y_{CĐ}=2

- Hàm số đạt cực tiểu tại x=0;y_{CT}=1

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } y = pm infty

Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;1)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 57 câu a

b) Hoành độ giao điểm của đường cong (C) và paraobol (P) là nghiệm của phương trình:

eqalign{ & ,,,,2{x^3} + 3{x^2} + 1 = 2{x^2} + 1 Leftrightarrow 2{x^3} + {x^2} = 0 cr & Leftrightarrow {x^2}left( {2x + 1} 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = - {1 over 2} hfill cr} 
ight. cr}

Với x = 0 ta có y = 1; vớix = - {1 over 2} ta có y = {3 over 2}

Ta có giao điểm A(0;1) và Bleft( { - {1 over 2};{3 over 2}} 
ight)

c) f'left( x 
ight) = 6{x^2} + 6x;,g'left( x 
ight) = 4xf'left( 0 
ight) = 0;,g'left( 0 
ight) = 0

Đường thẳng y = 1 là tiếp tuyến chung của (C) và (P) tại điểm A(0;1)

f'left( { - {1 over 2}} 
ight) = - {3 over 2}. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm B là:

y = - {3 over 2}left( {x + {1 over 2}} 
ight) + {3 over 2} hay y = - {3 over 2}x + {3 over 4}g'left( { - {1 over 2}} 
ight) = - 2Phương trình tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm B là:

y = - 2left( {x + {1 over 2}} 
ight) + {3 over 2},hay,,y = - 2x + {1 over 2}

d) Xét hiệufleft( x 
ight) - gleft( x 
ight) = 2{x^3} + 3{x^2} + 1 - 2{x^2} - 1 = 2{x^3} + {x^2} = {x^2}left( {2x + 1} 
ight)

Xét dấu fleft( x 
ight) - gleft( x 
ight)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 8 câu d

Trên khoảng left( { - infty ; - {1 over 2}} 
ight) (C) nằm phía dưới (P)

Trên các khoảng left( { - {1 over 2};0} 
ight) và left( {0; + infty } 
ight) (C) nằm phía trên (P)

Bài 58 trang 56 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = {{2x - 1} over {x + 1}}

b) Với các giá nào của m, đường thẳng left( {{d_m}} 
ight) đi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:

• Tại hai điểm phân biệt?

• Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị?

Giải

a) Tập xác đinh: D = Rackslash left{ { - 1} 
ight}

y' = {3 over {{{(x + 1)}^2}}}>0,,orall xin D

Hàm số đồng biến trên khoảng ( - infty ; - 1) và ( - 1; + infty )

Hàm số không có cực trị

Giới hạn

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } y = 2

Tiệm cận đứng y=2

eqalign{ & mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = + infty cr & mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = - infty cr}

Tiệm cận đứng: x=-1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 58 câu a

Đồ thị giao Ox tại điểm left( {{1 over 2};0} 
ight)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;-1)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 58 câu a

b) Phương trình đường thẳngleft( {{d_m}} 
ight) qua điểm A(-2;2) có hệ số góc m là:

y - 2 = mleft( {x + 2} 
ight),,,,hay,,,,y = mx + 2m + 2

Hoành độ giao điểm của đường thẳng left( {{d_m}} 
ight)và đường cong đã cho là nghiệm phương trình:

eqalign{ & ,,,,,mx + 2m + 2 = {{2x - 1} over {x + 1}} cr & Leftrightarrow left( {mx + 2m + 2} 
ight)left( {x + 1} 
ight) = 2x - 1,,,,,left( 1 
ight) cr & Leftrightarrow fleft( x 
ight) = m{x^2} + 3mx + 2m + 3 = 0,,,left( 2 
ight) cr}

vì x = -1 không là nghiệm của (1)

• Đường thẳngleft( {{d_m}} 
ight)cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt, tức là

left{ matrix{ m 
e 0 hfill cr Delta = {m^2} - 12m > 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow m < 0,,	ext{ hoặc },m > 12,,,left( * 
ight)

• Hai nhánh của đường cong nằm về hai phía của đường tiệm cận đứng x = -1 của đồ thị.

Đường thẳngleft( {{d_m}} 
ight)cắt đường cong tại hai điểm thuộc hai nhánh của nó khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm{x_1},,{x_2}thỏa mãn {x_1} < - 1 < {x_2}

eqalign{ & Leftrightarrow {x_1} + 1 < 0 < {x_2} + 1,,,,,,,,,,, Leftrightarrow left( {{x_1} + 1} 
ight)left( {{x_2} + 1} 
ight) < 0 cr & Leftrightarrow {x_1}.{x_2} + {x_1} + {x_2} + 1 < 0 Leftrightarrow {{2m + 3} over m} - {{3m} over m} + 1 < 0 cr & Leftrightarrow {3 over m} < 0,	ext{(thỏa mãn diều kiện (*))} cr}

Vậy với m < 0 thìleft( {{d_m}} 
ight) cắt (C) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị.

Bài 59 trang 56 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số:

fleft( x 
ight) = - {x^2} + 3x + 6; gleft( x 
ight) = {x^3} - {x^2} + 4 và hleft( x 
ight) = {x^2} + 7x + 8 tiếp xúc với nhau tại điểm A(-1;2) (tức là chúng có cùng tiếp tuyến tại A).

Giải

Ta có: fleft( { - 1} 
ight) = gleft( { - 1} 
ight) = hleft( { - 1} 
ight) = 2

Do đó điểm (A(-1;2) là điểm chung của ba đường cong đã cho. Ngoài ra, ta có:

eqalign{ & f'left( x 
ight) = - 2x + 3;,g'left( x 
ight) = 3{x^2} - 2x;,h'left( x 
ight) = 2x + 7 cr & f'left( { - 1} 
ight) = g'left( { - 1} 
ight) = h'left( { - 1} 
ight) = 5 cr}

Vậy ba đường cong có tiếp tuyến chung điểm A.

Bài 60 trang 56 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số:fleft( x 
ight) = {{{x^2}} over 2} + {3 over 2}xvà gleft( x 
ight) = {{3x} over {x + 2}} tiếp xúc với nhau. Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung tại điểm đó.

Giải

Hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đã cho là nghiệm của hệ phương trình:

eqalign{ (I),,& left{ matrix{ {{{x^2}} over 2} + {3 over 2}x = {{3x} over {x + 2}} hfill cr {left( {{{{x^2}} over 2} + {3 over 2}x} 
ight)'} = {left( {{{3x} over {x + 2}}} 
ight)'} hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ {{{x^2}} over 2} + {3 over 2}x = {{3x} over {x + 2}},(1) hfill cr x + {3 over 2} = {6 over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}},(2) hfill cr} 
ight. cr & (1), Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr {{x + 3} over 2} = {3 over {x + 2}} hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr {x^2} + 5x = 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = - 5 hfill cr} 
ight. cr}

+) x =0 thỏa mãn (2)

+) x =-5 không thỏa mãn (2)

Hệ phương trình (I) có 1 nghiệm duy nhất x = 0. Vậy hai đường cong tiếp xúc với nhau tại gốc tọa độ (O); y'left( 0 
ight) = {3 over 2} Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm gốc là y = {3 over 2}x.

Bài 61 trang 56 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Một viên đạn được bắn ra với vận tốc ban đầu {v_o} > 0 từ một nòng súng đặt ở gốc tọa độ O, nghiêng một góc lpha với mặt đất (nòng súng nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy) và tạo với trục hoành Ox góclpha). Biết quỹ đạo chuyển động của viên đạn là parabolleft( {{gamma _lpha }} 
ight):y = - {g over {2v_o^2}}left( {1 + {{	an }^2}lpha } 
ight){x^2} + x	an lpha , g là gia tốc trọng trường

Chứng minh rằng với mọi lpha in left( {0;{pi over 2}} 
ight),,left( {{gamma _lpha }} 
ight)luôn tiếp xúc với parabol (P) có phương trình là: y = - {g over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} over {2g}}và tìm tọa độ tiếp điểm (P) được gọi là parabol an toàn

Giải

Hoành độ tiếp điểm của hai parabol là nghiệm của hệ phương trình:

left{ matrix{ - {g over {2v_o^2}}left( {1 + {{	an }^2}lpha } 
ight){x^2} + x	an lpha = - {g over {2v_o^2}}{x^2} + {{v_o^2} over {2g}} hfill cr - {g over {v_o^2}}left( {1 + {{	an }^2}lpha } 
ight)x + 	an lpha = - {g over {v_o^2}}x hfill cr} 
ight.

Nghiệm của phương trình thứ hai của hệ là x = {{v_o^2} over {g	an lpha }}

Ta cóx = {{v_o^2} over {g	an lpha }}cũng là nghiệm của phương trình thứ nhất của hệ. Vậy với mọi lpha in left( {0;{pi over 2}} 
ight)hai parabol luôn tiếp xúc với nhau. Hoành độ tiếp điểm là x = {{v_o^2} over {g	an lpha }} . Tung độ của tiếp điểm là

y = - {g over {2v_o^2}}{left( {{{v_o^2} over {g	an lpha }}} 
ight)^2} + {{v_o^2} over {2g}} = {{v_o^2} over {2g}}left( {1 - {1 over {{{	an }^2}lpha }}} 
ight)

Điểm left( {{{v_o^2} over {g	an lpha }};{{v_o^2} over {2g}}left( {1 - {{cot }^2}lpha } 
ight)} 
ight)là tiếp điểm của hai parabol với mọi lpha in left( {0;{pi over 2}} 
ight)

Bài 62 trang 57 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = {{x - 1} over {x + 1}}

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đường cong đã cho là tâm đối xứng của nó.

Giải

Tập xác định:

eqalign{ & D = Rackslash left{ { - 1} 
ight} cr & cr}

Sự biến thiên:

y' = {2 over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,orall x in D

Hàm số đồng biến trên khoảng( - infty ; - 1) và ( - 1; + infty )

Giới hạn:

mathop {lim y}limits_{x 	o - {1^ - }} = + infty ;,mathop {lim y}limits_{x 	o - {1^ + }} = - infty

Tiệm cận đứng: x=-1

mathop {lim y}limits_{x 	o pm infty } = 1

Tiệm cận ngang: y=1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 62 câu a

Đồ thị giao Ox tại điểm (1;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;-1)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 62 câu a

b) Giao điểm của hai tiệm cận của đường cong là I(-1;1)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo vecto overrightarrow {OI} là

left{ matrix{ x = X - 1 hfill cr y = Y + 1 hfill cr} 
ight.

Phương trình đường cong trong hệ tọa độ IXY là:

Y + 1 = {{X - 1 - 1} over {X - 1 + 1}} Leftrightarrow Y + 1 = {{X - 2} over X} Leftrightarrow Y = - {2 over X}

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận gốc I làm tâm đối xứng.

Bài 63 trang 57 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm số: y = {{x + 2} over {2x + 1}}

b) Chứng minh rằng đường thẳng y = mx + m - 1 luôn đi qua một điểm cố định của đường cong (H) khi m biến thiên.

c) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng đã cho cắt đường cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Giải

a) Tập xác định:D =mathbb Rackslash left{ { - {1 over 2}} 
ight}

+) Sự biến thiên:

y' = {{ - 3} over {{{(2x + 1)}^2}}} < 0,orall x in D

Hàm số nghịch biến trên khoảngleft( { - infty ; - {1 over 2}} 
ight) và left( { - {1 over 2}; + infty } 
ight)

Giới hạn:

mathop {lim y}limits_{x 	o - {{{1 over 2}}^ - }} = - infty ;,mathop {lim y}limits_{x 	o - {{{1 over 2}}^ + }} = + infty

Hầm số không có cực trị.

Tiệm cận đứng:x={ - {1 over 2}}

mathop {lim y}limits_{x 	o pm infty } = {1 over 2}

Tiệm cận ngangy={1 over 2}

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán Nâng cao bài 63 câu a

Đồ thị giao Ox tại điểm (-2;0)

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;2)

Giải bài tập Toán Nâng cao bài 63 câu a

b) Ta có y = mx + m - 1 Leftrightarrow y + 1 = mleft( {x + 1} 
ight)

Tọa độ điểm cố định A của đường thẳng là nghiệm của hệ:

left{ matrix{ x + 1 = 0 hfill cr y + 1 = 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 1 hfill cr y = - 1 hfill cr} 
ight.

Vậy A(-1;1)

Tọa độ A thỏa mãn phương trình y = {{x + 2} over {2x + 1}}nên A thuộc đường cong (H).

c) Hoành độ giao điểm của đường thẳng đã cho và đường cong (H) là nghiệm của phương trình:

eqalign{ & ,,,mleft( {x + 1} 
ight) - 1 = {{x + 2} over {2x + 1}} Leftrightarrow left( {2x + 1} 
ight)left[ {mleft( {x + 1} 
ight) - 1} 
ight] = x + 2 cr & Leftrightarrow mleft( {x + 1} 
ight)left( {2x + 1} 
ight) - left( {2x + 1} 
ight) = x + 2 cr & Leftrightarrow left( {x + 1} 
ight)left( {2mx + m - 3} 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = - 1 hfill cr fleft( x 
ight) = 2mx + m - 3 = 0,,,left( 1 
ight) hfill cr} 
ight. cr}

Hai nhánh của (H) nằm về hai bên của tiệm cận đứng x = - {1 over 2}

Điểm A(-1;1) thuộc nhánh trái của (H) vì {x_A} = - 1 < - {1 over 2}

Đường thẳng cắt (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh khi và chỉ khi (1) có nghiệm x < - {1 over 2} và(x 
e - 1tức left{ matrix{ x 
e 0 hfill cr x = {{ - m + 3} over 2} < - {1 over 2} hfill cr fleft( { - 1} 
ight) 
e 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ m 
e 0 hfill cr {3 over {2m}} < 0 hfill cr - m - 3 
e 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow m < - 3,, 	ext{hoặc}, - 3 < m < 0.

Bài 64 trang 57 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

.Cho hàm số y = {{a{x^2} - bx} over {x - 1}}

a) Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua điểm Aleft( { - 1;{5 over 2}} 
ight) và tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0;0) có hệ số bằng -3.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã tìm được.

Giải

a) Ta có: {M_o} in left( C 
ight) y' = {{left( {12ax - b} 
ight)left( {x - 1} 
ight) - left( {a{x^2} - bx} 
ight)} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}}

Đồ thị (C) đi qua Aleft( { - 1;{5 over 2}} 
ight) Leftrightarrow yleft( { - 1} 
ight) = {5 over 2} Leftrightarrow {{a + b} over { - 2}} = {5 over 2} Leftrightarrow a + b = - 5,,,left( 1 
ight)

Tiếp tuyến của (C) tại O(0;0) có hệ số góc bằng -3 khi và chỉ khi y’(0) = -3 Leftrightarrow b = - 3,,left( 2 
ight)

Từ (1) và (2) suy ra a = -2; b = - 3.

b) Với a = -2; b = - 3 ta có:y = {{ - 2{x^3} + 3x} over {x - 1}}

Tập xác định: D = mathbb Rackslash left{ 1 
ight}

y' = {{ - 2{x^2} + 4x - 3} over {{{(x - 1)}^2}}} < 0,orall x in D

Hàm số nghịch biến trên khoảng:( - infty ;1) và (1; + infty )

Hàm số không có cực trị

Giới hạn:

mathop {lim y}limits_{x 	o {1^ - }} = - infty ;,mathop {lim y}limits_{x 	o {1^ + }} = + infty

Tiệm cận đứng là: x=1

eqalign{ & a = mathop {lim }limits_{x 	o infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o infty } {{ - 2{x^2} + 3x} over {{x^2} - x}} = - 2 cr & b = mathop {lim }limits_{x 	o infty } (y + 2x) = mathop {lim }limits_{x 	o infty } left( {{{ - 2{x^2} + 3x} over {x - 1}} + 2x} 
ight) = 1 cr}

Tiệm cận xiên là: y=-2x+1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 64 câu b

Đồ thị giao Oy tại điểm (0;0) và left( {{3 over 2};0} 
ight)

Giải bài tập Toán Nâng cao bài 64 câu b

Bài 65 trang 58 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y = {{2{x^2} - x + 1} over {x - 1}}

b) Với các giá trị nào t=của m đường thẳng y = m – x cắt đồ thị hàm số đã cho tại hao điểm phân biệt?

c) Gọi A và B là hai giao điểm đó. Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

Giải

a) Tập xác định: D = mathbb Rackslash left{ 1 
ight}

Sự biến thiên:

eqalign{ & y' = {{2{x^2} - 4x} over {{{(x - 1)}^2}}} cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = 2 hfill cr} 
ight. cr}

Hàm số đồng biến trên khoảng( - infty ;0) và((2; + infty )

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;1) và (1;2)

Cực trị

Hàm số đạt cực đại tại x=0, y_{CĐ}=1

Hàm số đạt cực tiểu tại x=2, y_{CT}=7

Giới hạn:

mathop {lim y}limits_{x 	o {1^ - }} = - infty ;,mathop {lim y}limits_{x 	o {1^ + }} = + infty

Tiệm cận đứng là: x=1

eqalign{ & a = mathop {lim }limits_{x 	o infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o infty } {{2{x^2} - x + 1} over {{x^2} - x}} = 2 cr & b = mathop {lim }limits_{x 	o infty } (y - 2x) = mathop {lim }limits_{x 	o infty } left( {{{2{x^2} - x + 1} over {x - 1}} - 2x} 
ight) = 1 cr}

Tiệm cận xiên là: y=2x+1

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 65 câu a

Đồ thị cắt (Oy) tại điểm ((0;-1)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 65 câu a

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đường cong đã cho là nghiệm của phương trình

eqalign{ & {{2{x^2} - x + 1} over {x - 1}} = m - 1 Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = left( {x - 1} 
ight)left( {m - x} 
ight) cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow 3{x^2} - left( {m + 2} 
ight)x + m + 1 = 0,,left( 1 
ight) cr}

(vì x =1) không là nghiệm của hai phương trình)

Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, tức là

eqalign{ & Delta = {left( {m + 2} 
ight)^2} - 12left( {m + 1} 
ight) > 0 Leftrightarrow {m^2} - 8m - 8 > 0 cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow m < 4 - 2sqrt 6 ,,	ext{hoặc},,m > 4 + 2sqrt {6,,} ,,,,left( 2 
ight) cr}

c) Hoành độ giao điểm A, B là các nghiệm của (1)

Hoành độ trung điểm M của AB là:{x_M} = {1 over 2}left( {{x_A} + {x_B}} 
ight) = {{m + 2} over 6}

Vì M nằm trên đường thẳng y = m – x nên{y_M} = m - {x_M} = m - {{m + 2} over 6} = {{5m - 2} over 6}

Khử m từ hệ

left{ matrix{ {x_M} = {{m + 2} over 6} hfill cr {y_M} = {{5m - 2} over 6} hfill cr} 
ight. ta được:5{x_M} - {y_M} = 2 Leftrightarrow {y_M} = 5{x_M} - 2

Vậy M nằm trên đường thẳng y = 5x -2

Vì m chỉ lấy giá trị thỏa mãn (2) nên:

m < 4 - 2sqrt 6 Rightarrow m = 6{x_M} - 2 < 4 - 2sqrt 6 Rightarrow {x_M} < 1 - {{sqrt 6 } over 3}

m > 4 + 2sqrt 6 Rightarrow m = 6{x_M} - 2 > 4 + 2sqrt 6 Rightarrow {x_M} > 1 + {{sqrt 6 } over 3}

Vậy tập hợp các trung điểm M của đoạn AB là phần của đường thẳng y = 5x -2 với {x_M} < 1 - {{sqrt 6 } over 3} hoặc{x_M} > 1 + {{sqrt 6 } over 3}

Bài 66 trang 58 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Tìm các hệ số a, b sao cho parabol y = 2{x^2} + ax + b tiếp xúc với hypebol y = {1 over x}tại điểm Mleft( {{1 over 2};2} 
ight)

Giải

Giả sử fleft( x 
ight) = 2{x^2} + ax + b;,gleft( x 
ight) = {1 over x}

Parabol tiếp xúc với hypebol tại Mleft( {{1 over 2};2} 
ight) khi và chỉ khi

left{ matrix{ fleft( {{1 over 2}} 
ight) = gleft( {{1 over 2}} 
ight) = 2 hfill cr f'left( {{1 over 2}} 
ight) = g'left( {{1 over 2}} 
ight) hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ {1 over 2} + {a over 2} + b = 2 hfill cr 4.{1 over 2} + a = - {1 over {{{left( {{1 over 2}} 
ight)}^2}}} hfill cr} 
ight.

Leftrightarrow left{ matrix{ a + 2b = 3 hfill cr a + 2 = - 4 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ a = - 6 hfill cr b = {9 over 2} hfill cr} 
ight.

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn