Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 7: Khảo sát sự biến th

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 7: Khảo sát sự biến th

24 02/12/2019

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 7: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của một số hàm phân thức hữu tỉ

Bài 49 trang 61 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số : y = {{x - 2} over {2x + 1}}

b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

Giải

a) TXĐ:Rackslash left{ { - {1 over 2}} 
ight}
Ta có: mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - {1 over 2}} 
ight)}^ + }} y = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - {1 over 2}} 
ight)}^ - }} y = + infty nên đường thẳng x = - {1 over 2} là tiệm cận đứng của đồ thị.
Vì mathop {lim }limits_{x 	o + infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } y = {1 over 2}nên đường thẳng y = {1 over 2} là tiệm cận ngang của đồ thị.

y' = {{left| matrix{ 1,,,,,,,,,2 hfill cr 2,,,,,,,,,1 hfill cr} 
ight|} over {{{left( {2x + 1} 
ight)}^2}}} = {5 over {{{left( {2x + 1} 
ight)}^2}}} > 0 với mọi x 
e - {1 over 2}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 49 câu a

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ; - {1 over 2}} 
ight)và left( { - {1 over 2}; + infty } 
ight)

Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;-2) và cắt trục hoành tại điểm (2;0).

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 49 câu a
b) Giao điểm hai tiệm cận của đồ thị Ileft( { - {1 over 2};{1 over 2}} 
ight)
Công thức đổi trục tịnh tiến theo vectơ Ileft( { - {1 over 2};{1 over 2}} 
ight)Ileft( { - {1 over 2};{1 over 2}} 
ight) là:

left{ matrix{ x = X - {1 over 2} hfill cr y = Y + {1 over 2} hfill cr} 
ight.

Phương trình của đồ thị (C) đối với trục IXY:

Y + {1 over 2} = {{X - {1 over 2} - 2} over {2left( {X - {1 over 2}} 
ight) + 1}} Leftrightarrow Y + {1 over 2} = {{X - {5 over 2}} over {2X}} Leftrightarrow Y = - {5 over {4X}}

Đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.

Bài 50 trang 61 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:

a)y = {{x + 1} over {x - 1}}

b) y = {{2x + 1} over {1 - 3x}}

Giải

a) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 1 
ight}

mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = - infty nên x = 1 là tiệm cận đứng.

mathop {lim }limits_{x 	o + infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } = 1 nên y=1 là tiệm cận ngang.

y = {{left| matrix{ 1,,,,,,,,,,,1 hfill cr 1,,,,,,, - 1 hfill cr} 
ight|} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{ - 2} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} < 0 với mọi x 
e 1

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 50 câu a

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng left( { - infty ;1} 
ight)và left( {1; + infty } 
ight)

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0;-1) cắt trục hoành tại điểm (-1;0).

Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I(1;1) làm tâm đối xứng.

Giải bài tập Toán Nâng cao bài 50 câu a
b) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ {{1 over 3}} 
ight}

mathop {lim }limits_{x 	o {{left( {{1 over 3}} 
ight)}^ + }} y = - infty ;,mathop {lim }limits_{x 	o {{left( {{1 over 3}} 
ight)}^ - }} y = - inftynênx = {1 over 3} là tiệm cận đứng.
mathop {lim }limits_{x 	o + infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } = - {2 over 3} nên y = - {2 over 3} là tiệm cận ngang.

y = {{left| matrix{ 2,,,,,,,1 hfill cr - 3,,,,1 hfill cr} 
ight|} over {{{left( {1 - 3x} 
ight)}^2}}} = {5 over {{{left( {1 - 3x} 
ight)}^2}}} > 0 với mọi(x 
e {1 over 3}

 

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 50 câu b

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng left( { - infty ;{1 over 3}} 
ight)và left( {{1 over 3}; + infty } 
ight)
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0;1) và cắt trục hoành tại điểm left( { - {1 over 2};0} 
ight)
Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận Ileft( {{1 over 3};{1 over 2}} 
ight)làm tâm đối xứng.

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 50 câu b

Bài 51 trang 61 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:y = {{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}}

b) Chứng minh rằng giao điểm I của đường tiệm cận của đồ thị là tâm đối xứng của đồ thị.

c) Tùy theo các giá trị của m, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

{{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}} + m = 0

Giải

a) TXĐ:D =mathbb Rackslash left{ { - 2} 
ight}

mathop {lim }limits_{x 	o - {2^ + }} y = + infty ;,,mathop {lim }limits_{x 	o - {2^ - }} y = - infty nên x = -2 là tiệm cận đứng.

Ta có: y = 2x + 1 + {2 over {x + 2}}

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - left( {2x + 1} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {2 over {x + 2}} = 0 nên y = 2x + 1 là tiệm cận xiên

eqalign{ & y' = 2 - {2 over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}} = {{2left[ {{{left( {x + 2} 
ight)}^2} - 1} 
ight]} over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}} = {{2left( {x + 1} 
ight)left( {x + 3} 
ight)} over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}} cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = - 1;,,yleft( { - 1} 
ight) = 1 hfill cr x = - 3;,,yleft( { - 3} 
ight) = - 7 hfill cr} 
ight. cr}

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 51 câu a

Điểm đặc biệt: x = 0 Rightarrow y = 2

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 51 câu a


b) Giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị là nghiệm của hệ.

left{ matrix{ x = - 2 hfill cr y = 2x + 1 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 hfill cr y = - 3 hfill cr} 
ight. Vậy Ileft( { - 2; - 3} 
ight)

Công thức đổi trục tịnh tiến theo véc tơ overrightarrow {OI} là

left{ matrix{x = X - 2 hfill = Y - 3 hfill } 
ight.

Ta có

eqalign{ & Y - 3 = 2(X - 2) + 1 + {2 over {X - 2 + 2}} cr & Leftrightarrow Y - 3 = 2X - 4 + 1 + {2 over X} cr & Leftrightarrow Y = 2X + {2 over X} cr}

Hàm số là hàm số lẻ nên đồ thị của hàm số nhận gốc I làm tâm đối xứng.

c) Ta có:{{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}} + m = 0 Leftrightarrow {{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}} = - m

Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị (C) hàm số và đường thẳng y = -m, vào đồ thị ta có:
+) - m< -7 hoặc–m>1 Leftrightarrow m > 7 hoặc m< -1 : phương trình có 2 nghiệm.

+) -m=-7 hoặc –m = 1 Leftrightarrow m = 7 hoặc m = -1: phương trình có 1 nghiệm.

+) - 7 -1 < m < 7: phương trình vô nghiệm.

Bài 52 trang 62 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a)y = {{{x^2} - 3x + 6} over {x - 1}}

b) y = {{2{x^2} - x + 1} over {1 - x}}

c) y = {{2{x^2} + 3x - 3} over {x + 2}}

d) y = - x + 2 + {1 over {x - 1}}

Giải

a)y = x- 2 + {4 over {x - 1}}
TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 1 
ight}

mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = + infty ;,mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = - inftynên x = 1 là tiệm cận đứng.
mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - left( {x - 2} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {4 over {x - 1}} = 0 nên y = x – 2 là tiệm cận xiên.

eqalign{ & y' = 1 - {4 over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{{{left( {x - 1} 
ight)}^2} - 4} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{left( {x - 3} 
ight)left( {x + 1} 
ight)} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = - 1;,,,yleft( { - 1} 
ight) = -5 hfill cr x = 3;,,,yleft( 3 
ight) = 3 hfill cr} 
ight. cr}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu a

Điểm đặc biệt: x = 0 Rightarrow y = - 6

Giải bài tập Toán Nâng cao bài 52 câu a

Đồ thị nhận giao điểm I(1;-1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

b) y = {{ - 2{x^2} + x - 1} over {x - 1}}

y = - 2x - 1 - {2 over {x - 1}}

TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 1 
ight}

Tiệm cận đứng: x = 1

Tiệm cận xiên: y = -2x – 1

eqalign{ & y' = - 2 + {2 over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{ - 2{{left( {x - 1} 
ight)}^2} + 2} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{ - 2{x^2} + 4x} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0;,,,,,yleft( 0 
ight) = 1 hfill cr x = 2;,,,,,,yleft( 2 
ight) = - 7 hfill cr} 
ight. cr}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu b

Điểm đặc biệt

x = 0 Rightarrow y = 1

x = -1 Rightarrow y = 2

Đồ thị:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu b

Đồ thị nhận I(1;-3) làm tâm đối xứng.

c) y = 2x - 1 - {1 over {x + 2}}

TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 2} 
ight}

Tiệm cận đứng: x = 2

Tiệm cận xiên: y = 2x -1

D =mathbb Rackslash left{ { - 2} 
ight}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu c

 

• Điểm đặc biệt: x = 0 Rightarrow y = - {3 over 2}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu c


Đồ thị nhận I(-2; -5) làm tâm đối xứng.
d) y = - x + 2 + {1 over {x - 1}}

TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 1 
ight}

 Tiệm cận đứng: x = 1

Tiệm cận xiên y = -x +2

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu d

 Điểm đặc biệt: x = 0 Rightarrow y = 1

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 52 câu d

Đồ thị nhận điểm I(1;-1) làm tâm đối xứng.

Bài 53 trang 62 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = {{x + 1} over {x - 2}}

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung.

c) Viết phương trinh tiếp tuyến của đồ thị song song với tiếp tuyến tại điểm A.

Giải

a) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 2 
ight}

Tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang y = 1.

y' = {{ - 3} over {{{left( {x - 2} 
ight)}^2}}} < 0 với mọi x 
e 2

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 53 câu a

 

Điểm đặc biệt: Aleft( {0; - {1 over 2}} 
ight),,Bleft( { - 1;0} 
ight)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 53 câu a
Đồ thị nhận điểm I(2;1) làm tâm đối xứng.

b) Giao điểm của đồ thị với trục tungAleft( {0; - {1 over 2}} 
ight) y'left( 0 
ight) = - {3 over 4}

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A là:

y + {1 over 2} = - {3 over 4}left( {x - 0} 
ight) Leftrightarrow y = - {3 over 4}x - {1 over 2}

c) Giả sử M là tiếp điểm của tiếp tuyến song song với tiếp tuyến tại A ta có:

y'left( {{x_M}} 
ight) = - {3 over 4} Leftrightarrow {{ - 3} over {{{left( {{x_M} - 2} 
ight)}^2}}} = - {3 over 4} Leftrightarrow {left( {{x_M} - 2} 
ight)^2} = 4

Leftrightarrow left[ matrix{ {x_M} - 2 = 2 hfill cr {x_M} - 2 = - 2 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left[ matrix{ {x_M} = 4 hfill cr {x_M} = 0,,(	ext{ loại vì }{x_A} = 0) hfill cr} 
ight. yleft( 4 
ight) = {5 over 2}. Vậy Mleft( {4;{5 over 2}} 
ight)

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y - {5 over 2} = - {3 over 4}left( {x - 4} 
ight) Leftrightarrow y = - {3 over 4}x + {{11} over 2}

Bài 54 trang 62 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) của hàm sốy = 1 - {1 over {x + 1}}
b) Từ đồ thị ((H)) suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số y = 1 + {1 over {x + 1}}

Giải

a)y = {x over {x + 1}}

TXĐ: D = Rackslash left{ { - 1} 
ight}

Tiệm cận đứng x = -1; tiệm cận ngang y = 1.

y' = {1 over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} > 0 với mọi x 
e - 1

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 54 câu a

 

Điểm đặc biệt

eqalign{ & x = 0 Rightarrow y = 0 cr & x = 1 Rightarrow y = {1 over 2} cr}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 54 câu a

Đồ thị nhận I(-1;1) làm tâm đối xứng.

b) Ta có y = - 1 + {1 over {x + 1}} = {{ - x} over {x + 1}}

Do đó đồ thị của hàm số y = - 1 + {1 over {x + 1}} là hình đối xứng của H qua trục hoành.

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 54 câu b

Bài 55 trang 62 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x - {2 over {x - 1}}

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm (3;3).

Giải

a) Tập xác định: D = Rackslash left{ 1 
ight}

y' = 1 + {2 over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} > 0,orall x in D

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( - infty ;1) và (1; + infty )

eqalign{ & mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = + infty cr & mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = - infty cr}

Do đó x=1 là tiệm cận đứng.

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } (y - x) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( { - {2 over {x - 1}}} 
ight) = 0

Vậy y=x là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 55 câu a

Đồ thị giao Ox tại (-1;0),(2;0)

Đồ thị giao (Oy tại (0;2)

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 55 câu a
b) Ta có: y' = 1 + {2 over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}}

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã cho tại điểm Mleft( {{x_o};{y_o}} 
ight) in left( C 
ight) là:

left( d 
ight):,y - {x_o} + {2 over {{x_o} - 1}} = left[ {1 + {2 over {{{left( {{x_o} - 1} 
ight)}^2}}}} 
ight]left( {x - {x_o}} 
ight),left( {x 
e 1} 
ight)

Vì left( {3;3} 
ight) in d nên 3 - {x_o} + {2 over {{x_o} - 1}} = {{{{left( {{x_o} - 1} 
ight)}^2} + 2} over {{{left( {{x_o} - 1} 
ight)}^2}}}left( {3 - {x_o}} 
ight)

eqalign{ & Leftrightarrow left( {3 - {x_o}} 
ight){left( {{x_o} - 1} 
ight)^2} + 2left( {{x_o} - 1} 
ight) = left( {{x_o} - 2{x_o} + 3} 
ight)left( {3 - {x_o}} 
ight) cr & Leftrightarrow {x_o} = 2;,{y_o} = yleft( 2 
ight) = 0 cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,y'left( 2 
ight) = 3 cr}

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3left( {x - 2} 
ight) hay y = 3x - 6.

Bài 56 trang 62 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số y = {{{x^2}} over {x + 1}}

b) Từ đồ thị C suy ra cách vẽ đồ thị của hàm số y = {{{x^2}} over {left| {x + 1} 
ight|}}

Giải

a) D = Rackslash left{ { - 1} 
ight}

eqalign{ & y' = {{{x^2} + 2x} over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} cr & y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = - 2 hfill cr} 
ight. cr}

Hàm số đồng biến trên khoảng left( { - infty ; - 2} 
ight)và left( {0; + infty } 
ight)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;-1) và (1;0)

Hàm số đạt cực đại tại x=-2, y_{CĐ}=-4

Hàm số đạt cực tiểu tại x=0, y_{CT}=0

mathop {lim }limits_{x 	o - {1^ + }} y = + infty mathop {lim }limits_{x 	o - {1^ - }} y = - infty

Vậy x=-1 là tiệm cận đứng.

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - (x - 1)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {{1 over {x + 1}}} 
ight) = 0

Vậy y= x-1 là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 56 câu a

Đồ thị

Đồ thị giao Ox, Oy tại O(0;0)

x=-2
ightarrow y=-4

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 56 câu a

b) Ta có

y = {{{x^2}} over {left| {x + 1} 
ight|}} = left{ matrix{ {{{x^2}} over {x + 1}},,	ext{nếu} ,x > - 1 hfill cr - {{{x^2}} over {x + 1}},,	ext{ nếu },x < - 1 hfill cr} 
ight.

Giữ nguyên phần đồ thị C ở bên phải tiệm cận đứng x = -1 và lấy đối xứng của phần C bên trái tiệm cận đứng qua trục hoành.

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn