Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 3: GTLN-GTNN của hàm s

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 3: GTLN-GTNN của hàm s

14 02/12/2019

Bài 16 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: fleft( x 
ight) = {sin ^4}x + {cos ^4}x

Giải

TXĐ: D=mathbb R

eqalign{ & fleft( x 
ight) = {left( {{{sin }^2}x} 
ight)^2} + {left( {{{cos }^2}x} 
ight)^2} + 2{sin ^2}x{cos ^2}x - 2{sin ^2}x{cos ^2}x cr & ,,,,,,,,,,, = {left( {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x} 
ight)^2} - 2{sin ^2}x{cos ^2}x = 1 - {1 over 2}{sin ^2}2x cr}

Vì 0 le {sin ^2}2x le 1 nên: ,,fleft( x 
ight) le 1 với mọi x in {mathbb{R}},fleft( 0 
ight) = 1. Vậy mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in {mathbb {R}}} = 1

*,,,fleft( x 
ight) ge {1 over 2} với mọi x in {mathbb{R}},fleft( {{pi over 4}} 
ight) = 1 - {1 over 2} = {1 over 2}

Vậy mathop {min fleft( x 
ight)}limits_{x in {mathbb {R}}} = {1 over 2}

Bài 17 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)fleft( x 
ight) = {x^2} + 2x - 5 trên đoạn left[ { - 2;3} 
ight]

b) fleft( x 
ight) = {{{x^3}} over 3} + 2{x^2} + 3x - 4 trên đoạn left[ { - 4;0} 
ight]

c)fleft( x 
ight) = x + {1 over x}trên đoạn left( {0; + infty } 
ight)

d) fleft( x 
ight) = - {x^2} + 2x + 4 trên đoạn left[ {2;4} 
ight]

e) fleft( x 
ight) = {{2{x^2} + 5x + 4} over {x + 2}} trên đoạnleft[ {0;1} 
ight]

f) fleft( x 
ight) = x - {1 over x}trên đoạn left( {0;2} 
ight]

Giải

a)D = left[ { - 2;3} 
ight];f'left( x 
ight) = 2x + 2;f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x=- 1 in left[ { - 2;3} 
ight]

Ta có: fleft( { - 2} 
ight) = - 5;fleft( { - 1} 
ight) = - 6;fleft( 3 
ight) = 10

Vậy: mathop {min ,fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 2;3} 
ight]} = - 6;,,,,,,mathop {max ,fleft( x 
ight) = 10}limits_{x in left[ { - 2;3} 
ight]}

b)

D = left[ { - 4;0} 
ight];,f'left( x 
ight) = {x^2} + 4x + 3;f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = - 1 in left[ { - 4;0} 
ight] hfill cr x = - 3 in left[ { - 4;0} 
ight] hfill cr} 
ight.

Ta có: fleft( { - 4} 
ight) = - {{16} over 3};fleft( { - 1} 
ight) = - {{16} over 3};fleft( { - 3} 
ight) = - 4;fleft( 0 
ight) = - 4

Vậymathop {min ,fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 4;0} 
ight]} = - {{16} over 3};,,mathop {max ,fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 4;0} 
ight]} = - 4

c) D = left( {0; + infty } 
ight);f'left( x 
ight) = 1 - {1 over {{x^2}}} = {{{x^2} - 1} over {{x^2}}}với mọi x 
e 0,f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = pm 1

x=1in left{ {0; + infty } 
ight.)x=-1
otin left{ {0; + infty } 
ight.))

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 17 câu c

mathop {min ,,fleft( x 
ight) = fleft( 1 
ight)}limits_{x in left( {0; + infty } 
ight)} = 2

Hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên khoảng left( {0; + infty } 
ight)

d) D = left[ {2;4} 
ight];f'left( x 
ight) = - 2x + 2;f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 1 
otin left[ {2;4} 
ight]

Ta có: fleft( 2 
ight) = 4;fleft( 4 
ight) = - 4

Vậymathop {min ,fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ {2;4} 
ight]} = - 4;,mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ {2;4} 
ight]} = 4

e)

D = left[ {0;1} 
ight];f'left( x 
ight) = {{2{x^2} + 8x + 6} over {{{left( {x + 2} 
ight)}^2}}};f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = - 1 
otin left[ {0;1} 
ight] hfill cr x = - 3 
otin left[ {0;1} 
ight] hfill cr} 
ight.

Ta có: fleft( 0 
ight) = 2;fleft( 1 
ight) = {{11} over 3}

Vậymathop {min ,fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ {0;1} 
ight]} = 2;mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ {0;1} 
ight]} = {{11} over 3}

f) D = left( {0;2} 
ight];f'left( x 
ight) = 1 + {1 over {{x^2}}} > 0 với mọi x in left( {0;2} 
ight];fleft( 2 
ight) = {3 over 2}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 17 câu f

mathop {,max fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ {0;2} 
ight]} = {3 over 2} . Hàm số không đạt giá trị nhỏ nhất trên left( {0;2} 
ight]

Bài 18 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2{sin ^2}x + 2sin x - 1

b) y = {cos ^2}2x - sin xcos x + 4

Giải

a) Đặtt = sin x, - 1 le t le 1

y = fleft( t 
ight) = 2{t^2} + 2t - 1

Ta tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = fleft( t 
ight)trên đoạn left[ { - 1;1} 
ight]. Đó cũng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên mathbb R

(f'left( t 
ight) = 4t + 2;f'left( t 
ight) = 0 Leftrightarrow t = - {1 over 2}

Ta có: fleft( { - 1} 
ight) = - 1;fleft( { - {1 over 2}} 
ight) = - {3 over 2};fleft( 1 
ight) = 3mathop {min ,,fleft( t 
ight)}limits_{t in left[ { - 1;1} 
ight]} = - {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,fleft( t 
ight)}limits_{t in left[ { - 1;1} 
ight]} = 3

Vậy mathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = - {3 over 2};,,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = 3

b) Ta có: y = 1 - {sin ^2}2x - {1 over 2}sin 2x + 4 = - {sin ^2}2x - {1 over 2}sin 2x + 5

Đặt t = sin 2x, - 1 le t le 1

y = fleft( t 
ight) = - {t^2} - {1 over 2}t + 5;f'left( t 
ight) = - 2t - {1 over 2};f'left( t 
ight) = 0 Leftrightarrow t = - {1 over 4} in left[ { - 1;1} 
ight]

Ta có: fleft( { - 1} 
ight) = {9 over 2};fleft( { - {1 over 4}} 
ight) = {{81} over {16}};fleft( 1 
ight) = {7 over 2}

mathop {min ,,fleft( t 
ight)}limits_{t in left[ { - 1;1} 
ight]} = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,fleft( t 
ight)}limits_{t in left[ { - 1;1} 
ight]} = {{81} over {16}}

Vậymathop {min ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = {7 over 2};,,,,,mathop {max ,,y}limits_{x in {mathbb{R}}} = {{81} over {16}}

Bài 19 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình chữ nhật có diện tích lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất đó.

Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 19Giải

Đặt BM = xleft( {0 < x < {a over 2}} 
ight)

Gọi H là trung điểm BC ta có AH ={{asqrt 3 } over 2}

Delta BMQ = Delta CNP,,, Rightarrow BM = NC = x,,, Rightarrow MN = a - 2x

QM//AH nên {{QM} over {AH}} = {{BM} over {BH}} Rightarrow QM = {{AH.BM} over {BH}} = {{{{asqrt 3 } over 2}.x} over {{a over 2}}} = xsqrt 3

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

Sleft( x 
ight) = MN.QM = left( {a - 2x} 
ight).xsqrt 3 = sqrt 3 left( {ax - 2{x^2}} 
ight)

Ta tìm giá trị lớn nhất của Sleft( x 
ight) trên khoảng left( {0;{a over 2}} 
ight)

Ta có : S'left( x 
ight) = sqrt 3 left( {a - 4x} 
ight);S'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = {a over 4};Sleft( {{a over 4}} 
ight) = {{sqrt 3 } over 8}{a^2}

Vậy Sleft( x 
ight) đạt giá trị lớn nhất tại điểm x = {a over 4} và giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật là:mathop {max ,,,Sleft( x 
ight)}limits_{x in left( {0;{a over 2}} 
ight)} = Sleft( {{a over 4}} 
ight) = {{sqrt 3 } over 8}{a^2}

Bài 20 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ cân nặng: P(n)=480 – 20n^2

Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Giải

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình cân nặng:

Xét hàm số fleft( x 
ight) = 480 - 20{x^2} trên khoảng left( {0; + infty } 
ight)

(Biến số n in {mathbb{N}}^* được thay bằng biến số x in left( {0; + infty } 
ight))

Ta có f'left( x 
ight) = 480 - 40x;f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 12

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán nâng cao 12 bài 20

Trên khoảng left( {0; + infty } 
ight) hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm x=12. Từ đó suy ra rằng trên tậpmathbb N^*các số nguyên dương, hàm số f đạt giá trị lớn nhất tại điểm n=12

Vậy muốn thu hoạch được nhều nhất sau một vụ thì trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ phải thả 12 con cá.

Bài 21 trang 22 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) fleft( x 
ight) = {x over {{x^2} + 1}};

b) fleft( x 
ight) = {{{x^3}} over {x + 1}};

c) fleft( x 
ight) = sqrt {5 - {x^2}} ;

d) fleft( x 
ight) = x + sqrt {{x^2} - 1}

Giải

a) TXĐ: D = {mathbb{R}}

f'left( x 
ight) = {{{x^2} + 1 - 2{x^2}} over {{{left( {{x^2} + 1} 
ight)}^2}}} = {{1 - {x^2}} over {{{left( {{x^2} + 1} 
ight)}^2}}};f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 1,,,,,,fleft( 1 
ight) = {1 over 2} hfill cr x = - 1,,,fleft( { - 1} 
ight) = - {1 over 2} hfill cr} 
ight.

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 21 câu a

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm X=-1 giá trị cực tiểu fleft( { - 1} 
ight) = - {1 over 2}. Hàm số đạt cực đại tại điểm x=1, giá trị cực đại fleft( 1 
ight) = {1 over 2}

b) TXĐ: D = {mathbb {R}}ackslash left{ { - 1} 
ight}

eqalign{ & f'left( x 
ight) = {{3{x^2}left( {x + 1} 
ight) - {x^3}} over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} = {{2{x^3} + 3{x^2}} over {{{left( {x + 1} 
ight)}^2}}} cr & f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow {x^2}left( {2x + 3} 
ight) = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ x = 0 hfill cr x = - {3 over 2} hfill cr} 
ight. cr & fleft( { - {3 over 2}} 
ight) = {{27} over 4} cr}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 21 câu b

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = - {3 over 2}, giá trị cực tiểufleft( { - {3 over 2}} 
ight) = {{27} over 4}

c) TXĐ:D = left[ { - sqrt 5 ;sqrt 5 } 
ight]

f'left( x 
ight) = {{ - 2x} over {2sqrt {5 - {x^2}} }} = {{ - x} over {sqrt {5 - {x^2}} }};f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 0;fleft( 0 
ight) = sqrt 5

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 21 câu c

Hàm số đạt cực đại tại X=0, giá trị cực đại (fleft( 0 
ight) = sqrt 5

d) fleft( x 
ight) xác định khi và chỉ khi {x^2} - 1 ge 0Leftrightarrow x le - 1hoặc x ge 1

TXĐ:D = left( { - infty ; - 1} 
ight] cup left[ {1; + infty } 
ight)

f'left( x 
ight) = 1 + {x over {sqrt {{x^2} - 1} }} = {{sqrt {{x^2} - 1} + x} over {sqrt {{x^2} - 1} }}

f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow sqrt {{x^2} - 1} = - x Leftrightarrow left{ matrix{ x le 0 hfill cr {x^2} - 1 = {x^2} hfill cr} 
ight. vô nghiệm

f'left( { - 2} 
ight) < 0 Rightarrow f'left( x 
ight) < 0với mọi x < - 1

f'left( { - 2} 
ight) > 0 Rightarrow f'left( x 
ight) > 2 với mọi x > 1

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 21 câu d

Hàm số nghịch biến trên left( { - infty ; - 1} 
ight] và đồng biến trênleft[ {1; + infty } 
ight)

Hàm số không có cực trị.

Bài 22 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị của m để hàm số fleft( x 
ight) = {{{x^2} + mx - 1} over {x - 1}} có cực đại và cực tiểu.

Giải

TXĐ: D = {mathbb{R}}ackslash left{ 1 
ight}

f'left( x 
ight) = {{left( {2x + m} 
ight)left( {x - 1} 
ight) - left( {{x^2} + mx - 1} 
ight)} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}} = {{{x^2} - 2x + 1 - m} over {{{left( {x - 1} 
ight)}^2}}}

f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0 (1)f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - m = 0 (1)

Hàm số f có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1, tức là

left{ matrix{ Delta ' = m > 0 hfill cr {1^2} - 2.1 + 1 - m 
e 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow m > 0.

Vậy m>0 thì hàm số fleft( x 
ight) có cực đại và cực tiểu.

Bài 23 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi công thức: Gleft( x 
ight) = 0,025{x^2}left( {30 - x} 
ight)Gleft( x 
ight) = 0,025{x^2}left( {30 - x} 
ight), trong đó x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh nhân x được tính bằng miligam. Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất và tính độ giảm đó.

Giải

Gleft( x 
ight) = 0,75{x^2} - 0,025{x^3};

D = left( {0; + infty } 
ight)D = left( {0; + infty } 
ight)

G'left( x 
ight) = 1,5x - 0,075{x^2};G'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 0 hoặc x = 20

giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 23

eqalign{ & mathop {max Gleft( x 
ight)}limits_{x > 0} = Gleft( {20} 
ight) = 100 cr & cr}

Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là 20 mg. Khi đó, độ giảm huyết áp là 100

Bài 24 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Cho parabol P y = x^2 và điểm A (-3;0) Xác định điểm M thuộc parabol P sao cho khoảng cách AM là ngắn nhất và tìm khoảng cách ngắn nhất đó.

Giải

Gọi Mleft( {x;{x^2}} 
ight)

Ta có: A{M^2} = {(x + 3)^2} + {x^4} = {x^4} + {x^2} + 6x + 9

AM đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khif(x) = {x^4} + {x^2} + 6x + 9đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: f'(x) = 4{x^3} + 2x + 6 = 2(x + 1)(2{x^2} - 2x + 3)

f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = - 1;fleft( { - 1} 
ight) = 5

Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 24

f đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x=-1, giá trị nhỏ nhất là f(-1) = 5

AM đạt giá trị nhỏ nhất khi M ở vị trí{M_0}(-1; 1) khi đóAM_0=sqrt 5

Bài 25 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng cách là 300km. Vận tốc dòng nước là 6km/h. Nếu vận tốc bơi của con cá khi nước đứng yên là v(km/h) thì năng lượng tiêu hao của con cá trong t giờ được cho bởi công thức Eleft( v 
ight) = c{v^3}t, trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun. Tìm vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên để năng lượng tiêu hao là ít nhất.

Giải

Vận tốc của cá hồi khi bơi ngược là v – 6 (km/h) Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300km là:t = {{300} over {v- 6}},,left( h 
ight)

Năng lượng tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó làEleft( v 
ight) = c{v^3}.{{300} over {v - 6}} = 300c.{{{v^3}} over {v - 6}} (jun) với v>6

Đạo hàm E'left( v 
ight) = 300c.{{3{v^2}left( {v - 6} 
ight) - {v^3}} over {{{left( {v - 6} 
ight)}^2}}} = 300c.{{2{v^3} - 18v} over {{{left( {v - 6} 
ight)}^2}}} = 600c.{{{v^2}left( {v - 9} 
ight)} over {{{left( {v - 6} 
ight)}^2}}}

Năng lượng cực tiểu khi: E'left( v 
ight) = 0 Leftrightarrow v = 9( vì v>6)Eleft( 9 
ight) = 72900c

Bảng biến thiên:

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 25

Để ít tiêu hao năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc ( khi nước đứng yên) là 9 km/h

Bài 26 trang 23 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t là

fleft( t 
ight) = 45{t^2} - {t^3},t = 0,1,2,...,25

Nếu coi f là hàm số xác định trên đoạn left[ {0;25} 
ight] thì f'left( t 
ight) được xem là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm t

a) Tính tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ 5

b) Xác định ngày mà tốc độ truyền bệnh là lớn nhất và tính tốc độ đó;

c) Xác định các ngày mà tốc độ truyền bệnh lớn hơn 600

d) Xét chiều biến thiên của hàm số f trên đoạn left[ {0;25} 
ight]

Giải

Số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t làfleft( t 
ight) = 45{t^2} - {t^3} t nguyên và thuộcleft[ {0;25} 
ight]

Để xét tốc độ truyền bệnh người ta xem hàm số f xác định trên đoạn left[ {0;25} 
ight]

a) f'left( t 
ight) = 90t - 3{t^2} = 3tleft( {30 - t} 
ight)

Tốc độ truyền bệnh vào ngày thứ năm là f'(5) = 375 (người/ngày)

b)f''left( t 
ight) = 90 - 6t;f''left( t 
ight) = 0 Leftrightarrow t = 15,f'left( t 
ight) = 675

Giải bài tập Toán Nâng cao bài 26

Tốc độ truyền bệnh là lớn nhất vào ngày 15

Tốc độ đó là f'left( {15} 
ight) = 675 (người/ngày)

c)f'left( t 
ight) > 0 Leftrightarrow 90t - 3{t^2} > 600 Leftrightarrow {t^2} - 30t + 200 < 0 Leftrightarrow 10 < t < 20

Từ ngày thứ 11 đến ngày thứ 19, tốc độ truyền bệnh là lớn hơn 600 người mỗi ngày.

Bài 27 trang 24 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a)fleft( x 
ight) = sqrt {3 - 2x} trên đoạn left[ { - 3;1} 
ight]

b) fleft( x 
ight) = x + sqrt {4 - {x^2}}

c) fleft( x 
ight) = {sin ^4}x + {cos ^2}x + 2;

d)fleft( x 
ight) = x - sin 2x trên đoan left[ { - {pi over 2};pi } 
ight]

Giải

a) TXĐ: D = left[ { - 3;1} 
ight]; f'left( x 
ight) = {{ - 1} over {sqrt {3 - 2x,} }} < 0 với mọi x < {3 over 2},

Hàm số f nghịch biến trên đoạn left[ { - 3;1} 
ight]

Do đó mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 3;1} 
ight]} = fleft( { - 3} 
ight) = 3; mathop {min fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 3;1} 
ight]} = fleft( 1 
ight) = 1

b) TXĐ:D = left[ { - 2;2} 
ight];f'left( x 
ight) = 1 - {x over {4 - {x^2}}} với x in left( { - 2;2} 
ight)

f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow 1 - {x over {4 - {x^2}}} = 0 Leftrightarrow sqrt {4 - {x^2}} = x Leftrightarrow left{ matrix{ 0 < x < 2 hfill cr 4 - {x^2} = {x^2} hfill cr} 
ight. Leftrightarrow x = sqrt 2

Ta có fleft( { - 2} 
ight) = - 2;fleft( {sqrt 2 } 
ight) = 2sqrt 2 ;fleft( 2 
ight) = 2

Vậy mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 2;2} 
ight]} = 2sqrt 2 ;,,,mathop {min fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - 2;2} 
ight]} = - 2

c) TXĐ: D =mathbb R

Ta có: fleft( x 
ight) = {sin ^4}x + 1 - {sin ^2}x + 2 = {sin ^4}x - {sin ^2}x + 3

Đặt t = {sin ^2}x;0 le t le 1

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm gleft( t 
ight) = {t^2} - t + 3số trên đoạn left[ {0;1} 
ight] g'left( t 
ight) = 2t - 1;g'left( t 
ight) = 0 Leftrightarrow t = {1 over 2}

Ta có: gleft( 0 
ight) = 3;gleft( {{1 over 2}} 
ight) = {{11} over {14}};gleft( 1 
ight) = 3

Do đó: mathop {min gleft( t 
ight)}limits_{t in left[ {0;1} 
ight]} = {{11} over {14}};,,,,,,mathop {max gleft( t 
ight)}limits_{t in left[ {0;1} 
ight]} = 3

Vậymathop {min fleft( x 
ight)}limits_{x in {mathbb{R}}} = {{11} over {14}};,,,,,,mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in {mathbb{R}}} = 3

d) TXĐ:D = left[ { - {pi over 2};pi } 
ight]

f'left( x 
ight) = 1 - 2cos 2x;

f'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow cos 2x = {1 over 2} = cos {pi over 3} Leftrightarrow 2x = pm {pi over 3} + k2pi Leftrightarrow x = pm {pi over 6} + kpi ,k in {mathbb{Z}}

Với- {pi over 2} < x < pi ,f'left( x 
ight) = 0 tại các điểm - {pi over 6},{pi over 6} và {{5pi } over 6}

Ta cófleft( { - {pi over 6}} 
ight) = - {pi over 6} + {{sqrt 3 } over 2};fleft( {{pi over 6}} 
ight) = {pi over 6} - {{sqrt 3 } over 2};fleft( {{{5pi } over 6}} 
ight) = {{5pi } over 6} + {{sqrt 3 } over 2}
.fleft( { - {pi over 2}} 
ight) = - {pi over 2};fleft( pi 
ight) = pi
So sánh năm giá trị trên ta được:
mathop {max fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - {pi over 2};pi } 
ight]} = {{5pi } over 6} + {{sqrt 3 } over 2} và mathop {min fleft( x 
ight)}limits_{x in left[ { - {pi over 2};pi } 
ight]} = - {pi over 2}

Bài 28 trang 24 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích bài 3

Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40cm, hãy xác định hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.

Giải

Gọi x cm là độ dài một cạnh của hình chữ nhật thì cạnh kia có độ dài 20 – x (cm)

Điều kiện: 0

Diện tích hình chữ nhật là (Sleft( x 
ight) = xleft( {20 - x} 
ight) = 20x - {x^2} với x in left( {0;20} 
ight)

Ta có S'left( x 
ight) = 20 - 2x;S'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 10S'left( x 
ight) = 20 - 2x;S'left( x 
ight) = 0 Leftrightarrow x = 10

Sleft( {10} 
ight) = 100

Giải bài tập Toán 12 nâng cao bài 28

Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất khi nó là hình vuông có cạnh dài 10 cm

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn