Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 5: Đường tiệm cận

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 5: Đường tiệm cận

14 02/12/2019

Giải bài tập sgk Toán 12 Nâng cao Chương 1 bài 5: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 34 trang 35 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) y = {{x - 2} over {3x + 2}}

b) y = {{ - 2x - 2} over {x + 3}}

c) y = x + 2 - {1 over {x - 3}}

d) y = {{{x^2} - 3x + 4} over {2x + 1}}

e) y = {{x + 2} over {{x^2} - 1}}

f) y = {x over {{x^3} + 1}}

Giải

a) TXĐ:D = mathbb Rackslash left{ { - {2 over 3}} 
ight}
Vì mathop {lim }limits_{x 	o + infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{x + 2} over {3x + 2}} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{1 - {2 over x}} over {3 + {2 over x}}} = {1 over 3} và mathop {lim }limits_{x 	o - infty } y = {1 over 3} nên đường thẳng y = {1 over 3}là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - {2 over 3}} 
ight)}^ + }} y = - inftymathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - {2 over 3}} 
ight)}^ - }} y = + infty ; nên đường thẳng x = - {2 over 3}là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 3} 
ight}
mathop {lim }limits_{x 	o + infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 2 - {2 over x}} over {1 + {3 over x}}} = - 2 và mathop {lim }limits_{x 	o - infty } y = - 2 nên đường thẳng y = - 2 là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 3} 
ight)}^ + }} y = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 3} 
ight)}^ - }} y = - infty nên đường thẳng x = - 3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 3 
ight}
Vì mathop {lim }limits_{x 	o {3^ + }} y = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {3^ - }} y = + infty nên đường thẳng X=3 là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có:

mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left[ {y - left( {x + 2} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 1} over {x - 3}} = 0 và mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left[ {y - left( {x + 2} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 1} over {x - 3}} = 0 nên đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - {1 over 2}} 
ight}
mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - {1 over 2}} 
ight)}^ + }} y = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - {1 over 2}} 
ight)}^ - }} y = - infty nên đường thẳng x = - {1 over 2} là tiệm cận đứng của đồ thị.

Tiệm cận xiên có dạng y = ax + b

eqalign{ & a = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{{x^2} - 3x + 4} over {xleft( {2x + 1} 
ight)}} = {1 over 2} cr & b = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {y - {x over 2}} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {{{{x^2} - 3x + 4} over {2x + 1}} - {x over 2}} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{ - 7x + 8} over {2left( {2x + 1} 
ight)}} = - {7 over 4} cr} mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = + infty

Đường thẳng y = {x over 2} - {7 over 4}là tiệm cận xiên của đồ thị (khix 	o + infty và x 	o - infty).

Cách khác:

Ta có: y = {1 over 2}.{{{x^2} - 3x + 4} over {x + {1 over 2}}} = {1 over 2}left( {x - {7 over 2} + {{23} over {4left( {x + {1 over 2}} 
ight)}}} 
ight)

Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 34
Vì mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - left( {{x over 2} - {7 over 4}} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{23} over {8left( {x + {1 over 2}} 
ight)}} = 0nên đường thẳng y = {x over 2} - {7 over 4} là tiệm cận xiên của đồ thị.

e) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 1;1} 
ight}
 Vì mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } y = 0 nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} 
ight)left( {x - 1} 
ight)}} = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} {{x + 2} over {left( {x + 1} 
ight)left( {x - 1} 
ight)}} = - infty nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.

mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} {{x + 2} over {left( {x + 1} 
ight)left( {x - 1} 
ight)}} = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} {{x + 2} over {left( {x + 1} 
ight)left( {x - 1} 
ight)}} = + inftynên đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.

f) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 1} 
ight}
 Vì mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } y = 0nên y=0 là tiệm cận ngang

mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} y = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = + infty nên x= -1 là tiệm cận đứng.

Bài 35 trang 35 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
(a),y = {{2x - 1} over {{x^2}}} + x - 3,;

(b),,{{{x^3} + 2} over {{x^2} - 2x}}

(c),,{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} - 1,}},,

(d),,{{{x^2} + x + 1} over { - 5{x^2} - 2x + 3}}

Giải

a) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 0 
ight}
 Vì mathop {lim }limits_{x 	o {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {0^ - }} y = - infty nên x = 0 là tiệm cận đứng.

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - left( {x - 3} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{2x - 1} over {{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {{2 over x} - {1 over {{x^2}}}} 
ight) = 0 nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ {0;2} 
ight}
mathop {lim }limits_{x 	o {0^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} 
ight)}} = - infty và(mathop {lim }limits_{x 	o {0^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {0^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} 
ight)}} = + inftynên x = 0 là tiệm cận đứng.
mathop {lim }limits_{x 	o {2^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {2^ + }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} 
ight)}} = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {2^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {2^ - }} {{{x^3} + 2} over {xleft( {x - 2} 
ight)}} = - infty nên x=2 là tiệm cận đứng.

 Tiệm cận xiên có dạng y = ax +b

eqalign{ & a = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{{x^3} + 2} over {{x^3} - 2{x^2}}} = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{1 + {2 over {{x^3}}}} over {1 - {2 over x}}} = 1 cr & b = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {y - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {{{{x^3} + 2} over {{x^2} - 2x}} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{2{x^2} + 2} over {{x^2} - 2x}} = 2 cr}

Đường thẳng y = x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị.

c) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 1;1} 
ight}
mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x - 1} 
ight)left( {x + 1} 
ight)}} = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x - 1} 
ight)left( {x + 1} 
ight)}} = - inftynên x=-1 là tiệm cận đứng.
mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} over {left( {x - 1} 
ight)left( {x + 1} 
ight)}} = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = - infty nên x = 1 là tiệm cận đứng.

 Tiệm cận xiên có dạng y = ax + b

eqalign{ & a = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{{x^3} + x + 1} over {xleft( {{x^2} - 1} 
ight)}} = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{1 + {1 over {{x^2}}} + {1 over {{x^3}}}} over {1 - {1 over {{x^2}}}}} = 1 cr & b = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {y - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left( {{{{x^3} + x + 1} over {{x^2} - 1}}} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{2x + 1} over {{x^2} - 1}} = 0 cr}

Rightarrow y = x là tiệm cận xiên.
d) TXĐ:D =mathbb Rackslash left{ { - 1;{3 over 5}} 
ight}
Vì mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over { - 5 - {2 over x} + {3 over {{x^2}}}}} = - {1 over 5}nêny = - {1 over 5} là tiệm cận ngang.
mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} 
ight)left( {3 - 5x} 
ight)}} = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = - infty nên x = -1 là tiệm cận đứng.
mathop {lim }limits_{x 	o {{left( {{3 over 5}} 
ight)}^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( {{3 over 5}} 
ight)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} 
ight)left( {3 - 5x} 
ight)}} = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( {{3 over 5}} 
ight)}^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {{left( {{3 over 5}} 
ight)}^ - }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x + 1} 
ight)left( {3 - 5x} 
ight)}} = + inftynênx = {3 over 5} là tiệm cận đứng.

Bài 36 trang 35 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

(a),,y = sqrt {{x^2} - 1} ,,

b) y = 2x + sqrt {{x^2} - 1}

c) y = x + sqrt {{x^2} + 1}

d) y = sqrt {{x^2} + x + 1}

Giải

a) TXĐ: D =mathbb Rackslash ( - infty ;1{
m{]}} cup {
m{[}}1; + infty )

Tiệm cận xiên khix 	o + infty

a = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{sqrt {{x^2} - 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{xsqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} = 1b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0

Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị khi x 	o + infty

 Tiệm cận xiên khi x 	o - infty
a = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{sqrt {{x^2} - 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - xsqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } over x} = - mathop {lim }limits_{x 	o - infty } sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} = - b = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {sqrt {{x^2} - 1} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0

Vậy đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị (khix 	o - infty).

b) TXĐ: D =mathbb Rackslash ( - infty ;1{
m{]}} cup {
m{[}}1; + infty )

Tiệm cận xiên khi x 	o + infty
b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {y - 3x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0
Vậy đường thẳng y = 3x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x 	o + infty).

 Tiệm cận xiên khix 	o - infty
a = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {2 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {2 - sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } 
ight) = 1
b = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {y - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {sqrt {{x^2} - 1} + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0
Vậy đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị (khi x 	o - infty)

c) TXĐ: D =mathbb R

 Tiệm cận xiên khi x 	o + infty

eqalign{ & a = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} + 1} } over x}} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {1 + sqrt {1 + {1 over {{x^2}}}} } 
ight) = 2 cr & b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {y - 2x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} + 1} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {1 over {sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 cr}

Đường thẳng y = 2x là tiệm cận xiên (khix 	o + infty)

 Tiệm cận khix 	o - infty
mathop {lim }limits_{x 	o - infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {x + sqrt {{x^2} - 1} } 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {1 over {x - sqrt {{x^2} - 1} }} = 0
Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang (khix 	o - infty)

d) TXĐ:D =mathbb R
 a = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} = 1

eqalign{ & b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {y - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} - x} 
ight) cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{1 + {1 over x}} over {sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }+1} = {1 over 2} cr}

Đường thẳng y = x + {1 over 2} là tiệm cận xiên (khi x 	o + infty)
a = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{sqrt {{x^2} + x + 1} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - xsqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } -sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} = - 1
b = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {y + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {sqrt {{x^2} + x + 1} + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{x + 1} over {sqrt {{x^2} + x + 1} - x}} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{1 + {1 over x}} over { - sqrt {1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} }-1} = - {1 over 2}
Đường thẳng y = - x - {1 over 2} là tiệm cận xiên (khi x 	o - infty)

Bài 37 trang 36 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) y = x + sqrt {{x^2} - 1}

b) y = sqrt {{x^2} - 4x + 3}

c)y = sqrt {{x^2} + 4}

d) y = {{{x^2} + x + 1} over {{x^2} - 1}}

Giải

a) TXĐ:D = left( { - infty ; - 1} 
ight] cup left[ {1; + infty } 
ight)
a = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {1 + {{sqrt {{x^2} - 1} } over x}} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {1 + sqrt {1 - {1 over {{x^2}}}} } 
ight) = 2
b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {y - 2x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} - 1} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1} + x}} = 0
Ta có tiệm cận xiên y = 2x (khi x 	o + infty)

mathop {lim }limits_{x 	o - infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {x + sqrt {{x^2} - 1} } 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 1} over {sqrt {{x^2} - 1} - x}} = 0

Ta có tiệm cận ngang y = 0 (khi x 	o - infty)

b) TXĐ: D = left( { - infty ;1} 
ight] cup left[ {3; + infty } 
ight)
a = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{sqrt {{x^2} - 4x + 3} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} = 1
(b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {y - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 4x + 3} over {sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x}} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{ - 4 + {3 over x}} over {sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} + 1}} = - 2
Ta có tiệm cận xiên y = x -2 (khi x 	o + infty).
a = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{sqrt {{x^2} - 4x + 3} } over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - xsqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} } over x} = - mathop {lim }limits_{x 	o - infty } sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} = - 1

eqalign{ & b = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {y + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 4x + 3} over {sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 4x + 3} over { - xsqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} - x}} cr & ,, = ,,,mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {{ - 4 + {3 over x}} over { - sqrt {1 - {4 over x} + {3 over {{x^2}}}} - 1}} = {{ - 4} over { - 2}} = 2 cr}

Tiệm cận xiên:y = -x + 2 (khi x 	o - infty).

c) TXD: D =mathbb R

a = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}} = 1b = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {y - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } left( {sqrt {{x^2} + 4} - x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4} + x}} = 0
Tiệm cận xiên y = x (khix 	o + infty
a = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {y over x} = mathop {lim }limits_{x 	o - infty }- sqrt {1 + {4 over {{x^2}}}} = - 1b = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {y + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } left( {sqrt {{x^2} + 4} + x} 
ight) = mathop {lim }limits_{x 	o - infty } {4 over {sqrt {{x^2} + 4} - x}} = 0
Tiệm cận xiên y = -x (khi x 	o - infty

d) TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 1;1} 
ight}
 Vì mathop {lim }limits_{x 	o + infty } y = mathop {lim }limits_{x 	o + infty } {{1 + {1 over x} + {1 over {{x^2}}}} over {1 - {1 over {{x^2}}}}} = 1
Tiệm cận ngang: y = 1 (khi (x 	o - infty và x 	o + infty)

mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x - 1} 
ight)left( {x + 1} 
ight)}} = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} y = mathop {lim }limits_{x 	o {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} over {left( {x - 1} 
ight)left( {x + 1} 
ight)}} = - infty nên x = 1là tiệm cận đứng.

Tương tự: mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} y = - infty và mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = + inftymathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ + }} y = - inftyvà mathop {lim }limits_{x 	o {{left( { - 1} 
ight)}^ - }} y = + inftynên x = -1 là tiệm cận đứng.

Bài 38 trang 36 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

a) Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị C của hàm số:

y = {{{x^2} - 2x + 3} over {x - 3}}

b) Xác định giao điểm I của hai tiệm cận trên và viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơoverrightarrow {OI} .

c) Viết phương trinh của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY

Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của đường cong C

Giải

a) Ta có: y = x + 1 + {5 over {x - 3}}

Giải bài tập Toán Nâng cao 12 bài 38 câu a

TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ 3 
ight}

left{ matrix{ y'left( 1 
ight) = 0 hfill cr yleft( 1 
ight) = 0 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ b = - 3 hfill cr c = 0 hfill cr} 
ight. mathop {lim }limits_{x 	o {3^ + }} y = + infty và mathop {lim }limits_{x 	o {3^ - }} y = - inftynên x = 3 là tiệm cận đứng.

mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - left( {x + 1} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {5 over {x - 3}} = 0nên y = x + 1 là tiệm cận xiên.

b) Tọa độ giao điểm I(x;y) của hai tiệm cận là nghiệm của hệ phương trình

left{ matrix{ x = 3 hfill cr y = x + 1 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ x = 3 hfill cr y = 4 hfill cr} 
ight.

Vậy I(3;4) là giao điểm của hai tiệm cận trên.

Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo véc tơoverrightarrow {OI} là

left{ matrix{ x = X + 3 hfill cr y = Y + 4 hfill cr} 
ight.

c) Phương trình của đường cong C đối với hệ tọa độ IXY là

Y + 4 = X + 3 + 1 + {5 over {X + 3 - 3}} Leftrightarrow Y = X + {5 over X}

Đây là hàm số lẻ, do đó C nhận gốc tọa độ I làm tâm đối xứng.

Bài 39 trang 36 sgk Toán 12 Nâng cao Đại số và Giải tích

Cùng các câu hỏi như trong bài tập 38 đối với đồ thị của hàm số sau:

a) y = {{{x^2} + x - 4} over {x + 2}}

b) y = {{{x^2} - 8x + 19} over {x - 5}}

Giải

a)y = x - 1 - {2 over {x + 2}}

Giải bài tập Toán 12 Nâng cao bài 39 câu a

TXĐ: D =mathbb Rackslash left{ { - 2} 
ight}

x=-2 là tiệm cận đứng.
mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } left[ {y - left( {x - 1} 
ight)} 
ight] = mathop {lim }limits_{x 	o pm infty } {{ - 2} over {x + 2}}=0 nên y = x -1 là tiệm cận xiên.

b) Tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận là nghiệm hệ

left{ matrix{ x = - 2 hfill cr y = x - 1 hfill cr} 
ight. Leftrightarrow left{ matrix{ x = - 2 hfill cr y = - 3 hfill cr} 
ight.

Vậy I(-2;-3). Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến vé tơ overrightarrow {OI} là

left{ matrix{ x = X - 2 hfill cr y = Y - 3 hfill cr} 
ight.

c) Ta nói: y = x - 3 + {4 over {x - 5}}

Tiệm cận đứng: x = 5; tiệm cận xiên: y = x – 3

Ileft( {5;2} 
ight);,,left{ matrix{ x = X + 5 hfill cr y = Y + 2 hfill cr} 
ight.

Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY là Y = X + {4 over X}

st

BÌNH LUẬN

Ảnh đại diện của bạn